Points rationnels du cercle et triplets pythagoriciens

L'extension $\mathbb Q(i)/\mathbb Q$. Dans ${\mathbb C}$, le polynôme $X^2 + 1$ n'a pas de racine rationnelle, puisqu'un carré de rationnel n'est pas négatif ; il est donc irréductible sur ${\mathbb Q}$, étant de degré $2$, et c'est le polynôme minimal de $i$ : $[\mathbb Q(i):\mathbb Q] = 2$ (Polynôme minimal). La conjugaison envoie $i$ sur $-i$, donc $\mathbb Q(i)$ sur lui-même, et sa restriction $\sigma$ est un automorphisme distinct de l'identité (Automorphismes).

Le groupe $\operatorname{Aut}(\mathbb Q(i)/\mathbb Q)$ a au plus $[\mathbb Q(i):\mathbb Q] = 2$ éléments (Dedekind, Artin, (iii)) ; il en a donc exactement deux, autant que le degré : l'extension est galoisienne (Extensions galoisiennes, (b)), cyclique d'ordre $2$, engendrée par $\sigma$. Pour $x = u + iv$ avec $u, v \in \mathbb Q$, on a $N_{\mathbb Q(i)/\mathbb Q}(x) = (u + iv)(u - iv) = u^2 + v^2$.

(i) Soit $u^2 + v^2 = 1$. Alors $x = u + iv$ est de norme $1$, et la forme cyclique du théorème 90 (Forme cyclique, (i)) donne $y \in \mathbb Q(i)^\times$ tel que $x = y/\sigma(y)$. Multiplier $y$ par un dénominateur commun $k$ de ses deux coordonnées, entier non nul, ne change pas le quotient, puisque $\sigma(k) = k$ ; on peut donc supposer $y = m + in$ avec $m$ et $n$ entiers, non tous deux nuls. Alors $$\begin{aligned} x &= \frac{m + in}{m - in} = \frac{(m + in)^2}{m^2 + n^2} \\ &= \frac{m^2 - n^2 + 2mn\,i}{m^2 + n^2}, \end{aligned}$$ et l'on identifie les parties réelle et imaginaire.

Réciproquement, $(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2$, de sorte que ces couples sont bien sur le cercle.

(ii) Le couple $(a/c, b/c)$ est sur le cercle ; par (i), $a/c = (m^2 - n^2)/(m^2 + n^2)$ et $b/c = 2mn/(m^2 + n^2)$ pour des entiers $m$, $n$ non tous deux nuls, et $\lambda = c/(m^2 + n^2)$ convient.