Définition 1Théorème 90 de Hilbert et théorie de Kummer

Action du groupe de Galois sur L et sur son groupe multiplicatif

Dans tout ce chapitre, $L/K$ est une extension galoisienne de degré $n$ et de groupe $G = {\operatorname{Gal}}(L/K)$ , qui a $n$ éléments (Extensions galoisiennes).

Le groupe $G$ agit sur le groupe additif $L$ et sur le groupe multiplicatif $L^\times$ par $\sigma \cdot x = \sigma(x)$ : ce sont deux G-modules (G-modules). Le second est noté multiplicativement ; dans les formules de la cohomologie, la somme y devient le produit, et le cobord $g \mapsto ga - a$ devient $\sigma \mapsto \sigma(a)/a$ . Le neutre de $H^1(G, L^\times)$ est noté $1$ .

La norme et la trace d'un élément $x \in L$ sont $\begin{aligned} N_{L/K}(x) &= \prod_{\sigma \in G} \sigma(x), \\ \operatorname{Tr}_{L/K}(x) &= \sum_{\sigma \in G} \sigma(x). \end{aligned}$

Énoncé

(i) Les invariants sont $L^G = K$ et $(L^\times)^G = K^\times$ .

(ii) Pour $x, y \in L$ , les éléments $N_{L/K}(x)$ et $\operatorname{Tr}_{L/K}(x)$ appartiennent à $K$ . La norme est multiplicative, $N_{L/K}(xy) = N_{L/K}(x)N_{L/K}(y)$ , et induit un morphisme de $L^\times$ dans $K^\times$ ; la trace est K-linéaire. Pour $\sigma \in G$ , on a $N_{L/K}(\sigma(x)) = N_{L/K}(x)$ et $\operatorname{Tr}_{L/K}(\sigma(x)) = \operatorname{Tr}_{L/K}(x)$ , et pour $a \in K$ , $N_{L/K}(a) = a^n$ et $\operatorname{Tr}_{L/K}(a) = na$ .

(iii) Pour toute famille $(y_\tau)_{\tau \in G}$ d'éléments de $L$ non tous nuls, il existe $c \in L$ tel que $\sum_{\tau \in G} y_\tau\,\tau(c) \neq 0$ . En particulier, la trace n'est pas identiquement nulle.

Démonstration

(i) Le corps fixe $L^G$ est $K$ , puisque l'extension est galoisienne (Extensions galoisiennes) ; les invariants de $L^\times$ sont les éléments non nuls de $L^G$ .

(ii) Pour $\rho \in G$ , l'application $\sigma \mapsto \rho\sigma$ est une bijection de $G$ , et $\rho$ est un morphisme de corps, donc $\rho\big(N_{L/K}(x)\big) = \prod_{\sigma \in G} \rho\sigma(x) = N_{L/K}(x),$ le produit étant commutatif. Ainsi $N_{L/K}(x) \in L^G = K$ , et de même pour la trace. Le même changement d'indice, $\sigma \mapsto \sigma\rho$ , donne $N_{L/K}(\rho(x)) = N_{L/K}(x)$ et $\operatorname{Tr}_{L/K}(\rho(x)) = \operatorname{Tr}_{L/K}(x)$ .

La multiplicativité de la norme vient de celle de chaque $\sigma$ et de la commutativité ; la norme d'un élément non nul est non nulle. La trace est additive, et $\sigma(ax) = a\sigma(x)$ pour $a \in K$ . Enfin, pour $a \in K$ , chacun des $n$ facteurs ou termes vaut $a$ .

(iii) Les éléments de $G$ sont des morphismes de corps de $L$ dans $L$ , deux à deux distincts. Par le lemme de Dedekind (Dedekind, Artin, (i)), ils sont linéairement indépendants sur $L$ : l'application $c \mapsto \sum_\tau y_\tau\tau(c)$ n'est pas nulle. Pour la trace, on prend tous les $y_\tau$ égaux à $1$ .

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Remarque

Pour ${\mathbb Q}(i)/\mathbb Q$ , dont le groupe est formé de l'identité et de la conjugaison (Automorphismes), la norme de $a + bi$ est $a^2 + b^2$ et sa trace $2a$ . La norme d'une extension quadratique est ainsi une forme quadratique, et c'est elle que le dernier nœud de ce chapitre fera parler.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que $\operatorname{Tr}_{L/K}(1) \neq 0$ . Or $\operatorname{Tr}_{L/K}(1) = n \cdot 1$ , qui est nul quand la caractéristique divise $n$ . Pour ${\mathbb F_4}/\mathbb F_2$ , avec $\mathbb F_4 = \{0, 1, \omega, \omega^2\}$ et $\omega^2 = \omega + 1$ , le groupe est formé de l'identité et du Frobenius $x \mapsto x^2$ (Corps finis) : $\operatorname{Tr}(1) = 1 + 1 = 0$ , mais $\operatorname{Tr}(\omega) = \omega + \omega^2 = 1$ . Le point (iii) garantit l'existence d'un élément de trace non nulle sans dire lequel.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Théorème 90 de Hilbert Forme additive du théorème 90