Définition 1Cohomologie des groupes

G-modules et invariants

Dans toute cette théorie, $G$ est un groupe noté multiplicativement, de neutre $e$ , et les groupes abéliens sont notés additivement, sauf mention contraire.

Un $G$ -module est un groupe abélien $A$ muni d'une action de $G$ , $(g, a) \mapsto g \cdot a$ , telle que chaque application $a \mapsto g \cdot a$ soit un morphisme de groupes : $g \cdot (a + b) = g \cdot a + g \cdot b$ . On écrit souvent $ga$ pour $g \cdot a$ . L'action est triviale si $ga = a$ pour tous $g$ et $a$ .

Un morphisme de $G$ -modules $u : A \to B$ est un morphisme de groupes qui commute à l'action : $u(ga) = g\,u(a)$ . Un sous-module de $A$ est un sous-groupe stable par l'action.

Une suite de morphismes de groupes $G_0 \to G_1 \to \cdots \to G_k$ est une suite exacte si l'image de chacun est le noyau du suivant.

Les invariants de $A$ sont les éléments fixés par tout le groupe : $A^G = \{a \in A : ga = a \text{ pour tout } g \in G\}.$ Pour un sous-groupe $H$ de $G$ , on note de même $A^H$ l'ensemble des éléments fixés par tout élément de $H$ .

Énoncé

(i) Se donner une structure de $G$ -module sur un groupe abélien $A$ revient à se donner un morphisme de groupes $\rho : G \to \operatorname{Aut}(A)$ , par la formule $ga = \rho(g)(a)$ .

(ii) $A^G$ est un sous-groupe de $A$ . Le noyau et l'image d'un morphisme de $G$ -modules $u : A \to B$ sont des sous-modules, et $u$ envoie $A^G$ dans $B^G$ .

(iii) Si $B$ est un sous-module de $A$ , le groupe quotient $A/B$ est un $G$ -module pour $g(a + B) = ga + B$ , et la surjection canonique est un morphisme de $G$ -modules.

(iv) Soit $N$ un sous-groupe distingué et abélien d'un groupe $E$ . L'action par conjugaison, $x \cdot n = xnx^{-1}$ , fait de $N$ un $E$ -module, sur lequel les éléments de $N$ agissent trivialement, et la formule $(xN) \cdot n = xnx^{-1}$ fait de $N$ un $E/N$ -module.

Démonstration

(i) Si $A$ est un $G$ -module, l'application $\rho(g) : a \mapsto ga$ est un morphisme de groupes, bijectif de réciproque $\rho(g^{-1})$ , puisque $g^{-1}(ga) = (g^{-1}g)a = a$ et de même $g(g^{-1}a) = a$ : c'est un élément de $\operatorname{Aut}(A)$ (Produits semi-directs). La relation $g(ha) = (gh)a$ dit que $\rho(gh) = \rho(g) \circ \rho(h)$ , et $\rho$ est un morphisme.

Réciproquement, si $\rho$ est un morphisme, $\rho(e)$ est le neutre $\mathrm{id}_A$ de $\operatorname{Aut}(A)$ , donc $ea = a$ , et $g(ha) = \rho(g)(\rho(h)(a)) = \rho(gh)(a) = (gh)a$ : la formule définit une action, et chaque $\rho(g)$ est un morphisme de groupes.

(ii) On a $g0 = 0$ , l'application $a \mapsto ga$ étant un morphisme, donc $0 \in A^G$ ; si $a, b \in A^G$ , alors $g(a - b) = ga - gb = a - b$ , et $A^G$ est un sous-groupe (Sous-groupe, (i)).

Le noyau et l'image de $u$ sont des sous-groupes (Morphisme). Si $u(a) = 0$ , alors $u(ga) = g\,u(a) = g0 = 0$ ; et $g\,u(a) = u(ga)$ appartient à l'image. Enfin, si $a \in A^G$ , alors $g\,u(a) = u(ga) = u(a)$ .

(iii) Si $a + B = a' + B$ , alors $a - a' \in B$ , donc $ga - ga' = g(a - a') \in B$ puisque $B$ est stable, et $ga + B = ga' + B$ : la formule a un sens. Les axiomes d'une action par morphismes se lisent sur les représentants, et la surjection canonique $a \mapsto a + B$ commute à l'action par construction.

(iv) Comme $N$ est distingué, la conjugaison $n \mapsto xnx^{-1}$ envoie $N$ dans $N$ ; c'est un morphisme, puisque $x(nm)x^{-1} = (xnx^{-1})(xmx^{-1})$ . On a $e \cdot n = n$ et $x \cdot (y \cdot n) = x(yny^{-1})x^{-1}$ , c'est-à-dire $x \cdot (y \cdot n) = (xy) \cdot n$ , puisque $(xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}$ . C'est donc une action par morphismes du groupe abélien $N$ , noté ici multiplicativement.

Pour $y \in N$ , on a $yny^{-1} = n$ puisque $N$ est abélien. Si $xN = x'N$ , alors $x' = xy$ avec $y \in N$ , et $x'nx'^{-1} = x(yny^{-1})x^{-1} = xnx^{-1}$ : l'action passe au quotient, et elle vérifie les axiomes d'une action de $E/N$ , puisque $(xN)(yN) = xyN$ .

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Remarque

Le groupe symétrique ${\mathfrak S_n}$ agit sur ${\mathbb Z}$ par la signature (Permutations, signature), $\sigma \cdot a = \varepsilon(\sigma)\,a$ : c'est un $\mathfrak S_n$ -module, et ses invariants sont réduits à $\{0\}$ dès que $n \geqslant 2$ , car une transposition envoie $a$ sur $-a$ . Le même groupe $\mathbb Z$ , muni de l'action triviale, a pour invariants $\mathbb Z$ tout entier : un $G$ -module est un groupe et une action, et la cohomologie verra la différence.

Remarque

L'erreur la plus répandue est d'oublier que l'action doit respecter l'addition. Un groupe abélien $A$ agit sur lui-même par translation, $g \cdot a = g + a$ ; c'est une action, mais pas une action par morphismes dès que $A \neq \{0\}$ , car $g \cdot 0 = g$ n'est pas nul pour $g \neq 0$ . Ce n'est donc pas une structure de $A$ -module sur $A$ .

Remarque

Le point (iv) est la source des $G$ -modules de la théorie des groupes : dans un groupe $E$ , un sous-groupe distingué abélien $N$ devient un module sur le quotient $E/N$ . C'est par ce biais que la cohomologie décrira les extensions (Extensions et H²) et démontrera le théorème de Schur-Zassenhaus (Schur-Zassenhaus).

Remarque

Si $G$ est un groupe d'automorphismes d'un corps $L$ , le groupe additif $L$ et le groupe multiplicatif $L^\times$ sont des $G$ -modules, pour $\sigma \cdot x = \sigma(x)$ ; dans le second, noté multiplicativement, l'action respecte le produit. Leurs invariants forment le corps fixe de la théorie de Galois. Le chapitre Hilbert 90, Kummer y calcule leur premier groupe de cohomologie.

Repose sur

Groupes finis

Sert à

Cochaînes, cocycles, cobords et groupes de cohomologie