Cochaînes, cocycles, cobords et groupes de cohomologie

(i) Cochaînes homogènes. Appelons cochaîne homogène de degré $n$ une application $F : G^{n+1} \to A$ telle que $F(gx_0, \dots, gx_n) = g\,F(x_0, \dots, x_n)$ pour tous $g, x_0, \dots, x_n$, et posons $$\begin{aligned} &(\partial F)(x_0, \dots, x_{n+1}) \\ &\quad = \sum_{i=0}^{n+1} (-1)^i F(x_0, \dots, \widehat{x_i}, \dots, x_{n+1}), \end{aligned}$$ où le chapeau signale l'argument omis. Chaque terme est homogène, $g$ agissant par morphisme, donc $\partial F$ est une cochaîne homogène de degré $n + 1$.

On a $\partial \circ \partial = 0$. Chaque terme de $\partial(\partial F)(x_0, \dots, x_{n+2})$ omet deux arguments $x_i$ et $x_j$, avec $i < j$, et il apparaît deux fois. Si l'on omet d'abord $x_j$, qui est au rang $j$, puis $x_i$, toujours au rang $i$, le signe est $(-1)^{j + i}$. Si l'on omet d'abord $x_i$, puis $x_j$, qui est alors descendu au rang $j - 1$, le signe est $(-1)^{i + j - 1}$. Les deux termes se compensent.

Correspondance. À une cochaîne homogène $F$ de degré $n$ associons la cochaîne $\Phi(F) \in C^n(G, A)$ définie par $$\begin{aligned} &\Phi(F)(g_1, \dots, g_n) \\ &\quad = F(e, g_1, g_1g_2, \dots, g_1g_2\cdots g_n). \end{aligned}$$ C'est un morphisme de groupes, bijectif. Sa réciproque $\Psi$ associe à $f$ la cochaîne $$\begin{aligned} &\Psi(f)(x_0, \dots, x_n) \\ &\quad = x_0\,f(x_0^{-1}x_1, x_1^{-1}x_2, \dots, x_{n-1}^{-1}x_n), \end{aligned}$$ qui est homogène, puisque $(gx_{k-1})^{-1}(gx_k) = x_{k-1}^{-1}x_k$.

On a $\Phi(\Psi(f)) = f$, car les quotients successifs de $(e, g_1, g_1g_2, \dots)$ sont $g_1, g_2, \dots$. On a $\Psi(\Phi(F)) = F$, car l'homogénéité donne $F(x_0, \dots, x_n) = x_0\,F(e, x_0^{-1}x_1, \dots, x_0^{-1}x_n)$, et $x_0^{-1}x_k$ est le produit $(x_0^{-1}x_1)(x_1^{-1}x_2)\cdots(x_{k-1}^{-1}x_k)$.

Les différentielles se correspondent : $\Phi(\partial F) = d^n\Phi(F)$. Posons $x_0 = e$ et $x_k = g_1\cdots g_k$, de sorte que $\Phi(\partial F)(g_1, \dots, g_{n+1}) = (\partial F)(x_0, \dots, x_{n+1})$.

Le terme $i = 0$ est $F(x_1, \dots, x_{n+1})$. Par homogénéité, avec $x_1 = g_1$, il vaut $g_1\,F(e, g_2, g_2g_3, \dots, g_2\cdots g_{n+1})$, c'est-à-dire $g_1\,\Phi(F)(g_2, \dots, g_{n+1})$.

Pour $1 \leqslant i \leqslant n$, omettre $x_i$ laisse un uplet qui commence par $e$ et dont les quotients successifs sont $g_1, \dots, g_ig_{i+1}, \dots, g_{n+1}$, puisque $x_{i-1}^{-1}x_{i+1} = g_ig_{i+1}$ : le terme vaut $(-1)^i\,\Phi(F)(g_1, \dots, g_ig_{i+1}, \dots, g_{n+1})$. Enfin, omettre $x_{n+1}$ donne $(-1)^{n+1}\,\Phi(F)(g_1, \dots, g_n)$. On retrouve terme à terme la formule de $d^n$.

Conclusion. On a donc $d^n = \Phi \circ \partial \circ \Psi$ en chaque degré, d'où $$d^{n+1} \circ d^n = \Phi \circ \partial \circ \partial \circ \Psi = 0.$$ Ainsi l'image de $d^{n-1}$ est contenue dans le noyau de $d^n$, et le quotient $H^n(G, A)$ est un groupe abélien (Groupe quotient).

(ii) On a $B^0(G, A) = \{0\}$, et $a \in Z^0(G, A)$ si et seulement si $ga - a = 0$ pour tout $g$, c'est-à-dire $a \in A^G$.

(iii) Si $f$ est un cocycle de degré $1$, alors $f(e) = f(ee) = f(e) + e\,f(e) = 2f(e)$, donc $f(e) = 0$.

Si $c$ est un cocycle de degré $2$, la relation $(d^2c)(e, e, h) = 0$ s'écrit $c(e, h) - c(e, h) + c(e, h) - c(e, e) = 0$, d'où $c(e, h) = c(e, e)$. La relation $(d^2c)(g, e, e) = 0$ s'écrit $g\,c(e, e) - c(g, e) + c(g, e) - c(g, e) = 0$, d'où $c(g, e) = g\,c(e, e)$.