Le premier groupe de cohomologie

(i) Si l'action est triviale, $(d^0a)(g) = a - a = 0$, donc $B^1(G, A) = \{0\}$, et la condition de cocycle $f(gh) = f(g) + f(h)$ est celle d'un morphisme (Cochaînes, cohomologie).

(ii) Soit $f \in Z^1(G, A)$. Montrons par récurrence sur $k \in \mathbb N$ que $$f(\sigma^k) = \sum_{j=0}^{k-1} \sigma^j f(\sigma).$$ Pour $k = 0$, c'est $f(e) = 0$ (même nœud, (iii)) ; et $f(\sigma^{k+1}) = f(\sigma^k\sigma) = f(\sigma^k) + \sigma^kf(\sigma)$.

Pour $k = n$, comme $\sigma^n = e$, on obtient $N_\sigma(f(\sigma)) = f(e) = 0$. Tout élément de $G$ étant un $\sigma^k$ (Groupes cycliques, (i)), $f$ est déterminé par $f(\sigma)$ : l'application $f \mapsto f(\sigma)$, qui est un morphisme, est injective et prend ses valeurs dans $\operatorname{Ker} N_\sigma$.

Surjectivité. Soit $a \in \operatorname{Ker} N_\sigma$, et $F(m) = \sum_{j<m} \sigma^ja$ pour $m \in \mathbb N$. On a $F(k + l) = F(k) + \sigma^kF(l)$ en découpant la somme, et en particulier $$F(m + n) = N_\sigma(a) + \sigma^nF(m) = F(m).$$ Comme $\sigma^k = \sigma^{k'}$ seulement si $n$ divise $k - k'$ (même nœud, (i)), la formule $f(\sigma^k) = F(k)$ définit une application $f : G \to A$. La relation $F(k + l) = F(k) + \sigma^kF(l)$ dit que $f$ est un cocycle, et $f(\sigma) = F(1) = a$.

Cobords. Pour $b \in A$, le cobord $d^0b$ envoie $\sigma$ sur $\sigma b - b$ : l'image de $B^1(G, A)$ est $(\sigma - 1)A$, qui est donc contenu dans $\operatorname{Ker} N_\sigma$. Composons l'isomorphisme avec la surjection canonique sur $\operatorname{Ker} N_\sigma/(\sigma - 1)A$ : on obtient un morphisme surjectif dont le noyau est formé des cocycles $f$ tels que $f(\sigma) \in (\sigma - 1)A$, c'est-à-dire, par injectivité, des cobords. Le théorème d'isomorphisme (Théorème d'isomorphisme) conclut.