Théorème 1Cohomologie des groupes

H¹ et les compléments dans un produit semi-direct

Soit $N$ un sous-groupe distingué d'un groupe $E$ . Un complément de $N$ est un sous-groupe $H$ de $E$ tel que $N \cap H = \{e\}$ et $NH = E$ , où $NH = \{nh : n \in N,\ h \in H\}$ .

Soit $A$ un G-module et $\rho : G \to \operatorname{Aut}(A)$ le morphisme associé (G-modules, (i)). On note $E = A \rtimes G$ le produit semi-direct $A \rtimes_\rho G$ (Produits semi-directs), dont la loi s'écrit, $A$ étant noté additivement, $(a, g)(b, h) = (a + gb,\ gh).$ On identifie $A$ au sous-groupe distingué $A \times \{e\}$ . Pour une application $f : G \to A$ , on pose $H_f = \{(f(g), g) : g \in G\}$ .

Énoncé

(i) $H_f$ est un complément de $A$ dans $E$ si et seulement si $f \in Z^1(G, A)$ . Tout complément de $A$ dans $E$ est de la forme $H_f$ pour une unique application $f$ .

(ii) Pour $b \in A$ , on a $(b, e)\,H_f\,(b, e)^{-1} = H_{f - d^0b}$ . Pour $f, f' \in Z^1(G, A)$ , les sous-groupes $H_f$ et $H_{f'}$ sont conjugués dans $E$ si et seulement s'ils le sont par un élément de $A$ , si et seulement si $f - f' \in B^1(G, A)$ .

(iii) L'application qui envoie $H_f$ sur la classe $[f]$ induit une bijection de l'ensemble des classes de conjugaison de compléments de $A$ dans $E$ sur ${H^1}(G, A)$ . En particulier, tous les compléments de $A$ sont conjugués si et seulement si $H^1(G, A) = 0$ .

Démonstration

(i) Dans $E$ , on a $(f(g), g)(f(h), h) = (f(g) + g\,f(h),\ gh)$ , et le seul élément de $H_f$ dont la seconde coordonnée est $gh$ est $(f(gh), gh)$ . Ainsi $H_f$ est stable par produit si et seulement si $f(gh) = f(g) + g\,f(h)$ pour tous $g, h$ , c'est-à-dire si $f$ est un cocycle.

Supposons $f \in Z^1(G, A)$ . Alors $H_f$ contient $(f(e), e) = (0, e)$ (Cochaînes, cohomologie, (iii)). L'inverse de $(f(g), g)$ dans $E$ est $(-g^{-1}f(g),\ g^{-1})$ , comme le montre la loi, puisque $(f(g), g)(-g^{-1}f(g),\ g^{-1}) = (0, e)$ ; et la relation $0 = f(g^{-1}g) = f(g^{-1}) + g^{-1}f(g)$ montre que c'est $(f(g^{-1}), g^{-1})$ , élément de $H_f$ : $H_f$ est un sous-groupe.

Si $(a, e) \in H_f$ , alors $a = f(e) = 0$ : $A \cap H_f = \{(0, e)\}$ . Enfin $(a, g) = (a - f(g), e)(f(g), g)$ , donc $E = A\,H_f$ .

Soit $H$ un complément de $A$ , et $g \in G$ . Comme $E = AH$ , l'élément $(0, g)$ s'écrit $(b, e)(c, h) = (b + c, h)$ avec $(c, h) \in H$ : $h = g$ , et $H$ contient un élément de seconde coordonnée $g$ . Si $(a, g)$ et $(a', g)$ sont dans $H$ , alors $\begin{aligned} (a, g)(a', g)^{-1} &= (a, g)(-g^{-1}a',\ g^{-1}) \\ &= (a - a', e) \end{aligned}$ appartient à $A \cap H$ , donc $a = a'$ . L'ensemble $H$ est ainsi le graphe d'une application $f : G \to A$ , unique, et $H = H_f$ ; c'est un cocycle par ce qui précède.

(ii) On calcule $\begin{aligned} &(b, e)(f(g), g)(-b, e) \\ &\quad = (b + f(g), g)(-b, e) \\ &\quad = \big(f(g) - (gb - b),\ g\big), \end{aligned}$ ce qui donne $(b, e)\,H_f\,(b, e)^{-1} = H_{f - d^0b}$ .

Si $xH_fx^{-1} = H_{f'}$ avec $x \in E$ , écrivons $x = (b, e)\,y$ avec $y \in H_f$ , ce que permet $E = AH_f$ . Alors $yH_fy^{-1} = H_f$ , donc $H_{f'} = (b, e)\,H_f\,(b, e)^{-1} = H_{f - d^0b}$ : les deux sous-groupes sont conjugués par un élément de $A$ , et $f' = f - d^0b$ par l'unicité de (i), donc $f - f' \in B^1(G, A)$ . Réciproquement, si $f - f' = d^0b$ , la formule montre que $(b, e)$ conjugue $H_f$ en $H_{f'}$ .

(iii) Par (ii), l'application est bien définie sur les classes de conjugaison et injective ; elle est surjective par (i).

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Remarque

Prenons $G = \{e, s\}$ d'ordre $2$ agissant sur $A = {\mathbb Z/4\mathbb Z}$ par $s \cdot a = -a$ : le produit semi-direct $E$ est le groupe diédral $\mathcal D_4$ (Diédraux, quaternions), groupe des isométries d'un carré, où $A$ est le sous-groupe des rotations. Les cocycles sont déterminés par $f(s) \in \mathbb Z/4\mathbb Z$ quelconque (Le groupe H¹, remarque), d'où quatre compléments, formés de l'identité et d'une symétrie $(f(s), s)$ .

Les cobords sont les $f$ avec $f(s) \in \{\bar 0, \bar 2\}$ , et $H^1(G, A)$ a deux éléments : les quatre compléments forment deux classes de conjugaison.

À gauche, les huit éléments

(a, g)

\mathbb Z/4\mathbb Z \rtimes \{e, s\}

, en quatre lignes et deux colonnes. Chaque complément est le graphe d'un cocycle, un point dans chaque colonne, issu du neutre

(0, e)

: en rouge ceux pour lesquels

f(s)

est pair, en bleu ceux pour lesquels

f(s)

est impair, en trait plein pour

f(s) \in \{\bar 0, \bar 1\}

et en pointillé pour

f(s) \in \{\bar 2, \bar 3\}

. À droite, les axes des symétries correspondantes du carré, numérotés par

f(s)

et tracés de même : les médianes

0

2

, en rouge, et les diagonales

1

3

, en bleu. Deux symétries sont conjuguées exactement quand leurs axes sont de même nature, ce qui redonne les deux éléments de

H^1

Remarque

Pour $G = \{e, s\}$ agissant sur $\mathbb Z/3\mathbb Z$ par $s \cdot a = -a$ , le produit semi-direct est $\mathfrak S_3$ (Produits semi-directs, remarque). Ici $(s - 1)A = \{-2b\} = A$ , donc $H^1(G, A) = 0$ : les trois compléments, engendrés par les trois transpositions, sont conjugués, comme le disent aussi les théorèmes de Sylow.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de confondre complément et facteur direct. Un complément n'est pas distingué en général : dans $\mathfrak S_3$ , aucun des sous-groupes engendrés par une transposition ne l'est. Lorsqu'un complément $H$ est distingué, la reconnaissance du nœud Produits semi-directs, (ii), donne $E \cong A \times H$ , et l'action est triviale.

Repose sur

Le premier groupe de cohomologie

Sert à

H² et les extensions de groupes