H² et les extensions de groupes

(i) On a $p\big(s(g)s(h)s(gh)^{-1}\big) = gh(gh)^{-1} = e$, donc $s(g)s(h)s(gh)^{-1}$ appartient au noyau $i(A)$ de $p$ et s'écrit $i(c)$ pour un unique $c$, puisque $i$ est injectif.

Comme $p(s(g)) = g$, la condition d'extension donne $s(g)\,i(a) = i(ga)\,s(g)$. Développons les deux parenthésages de $s(g)s(h)s(k)$, en abrégeant $c_s$ en $c$ : $$\begin{aligned} &\big(s(g)s(h)\big)s(k) \\ &\quad = i\big(c(g, h)\big)\,s(gh)\,s(k) \\ &\quad = i\big(c(g, h) + c(gh, k)\big)\,s(ghk), \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} &s(g)\big(s(h)s(k)\big) \\ &\quad = s(g)\,i\big(c(h, k)\big)\,s(hk) \\ &\quad = i\big(g\,c(h, k) + c(g, hk)\big)\,s(ghk). \end{aligned}$$ L'associativité et l'injectivité de $i$ donnent $c(g, h) + c(gh, k) = g\,c(h, k) + c(g, hk)$, c'est-à-dire $d^2c = 0$ (Cochaînes, cohomologie).

Autre section. Une autre section $s'$ vérifie $p(s'(g)) = p(s(g))$, donc $s'(g) = i(b(g))\,s(g)$ pour une unique cochaîne $b$ de degré $1$. Alors $$\begin{aligned} &s'(g)s'(h) \\ &\quad = i\big(b(g) + g\,b(h)\big)\,s(g)s(h) \\ &\quad = i\big(b(g) + g\,b(h) + c_s(g, h) \\ &\qquad\quad - b(gh)\big)\,s'(gh), \end{aligned}$$ donc $c_{s'} = c_s + d^1b$, qui a la même classe que $c_s$.

Extensions équivalentes. Si $\theta$ est une équivalence de $E$ vers $E'$, alors $\theta \circ s$ est une section de $p'$, puisque $p' \circ \theta \circ s = p \circ s$, et l'image par $\theta$ de la relation de définition donne $c_{\theta \circ s} = c_s$. Par ce qui précède, la classe de $E'$, calculée avec n'importe quelle section, est celle de $E$.

(ii) Normalisation. Soit $c \in Z^2(G, A)$, et $b$ la cochaîne constante égale à $c(e, e)$. Alors $(d^1b)(g, h) = g\,c(e, e)$, et le cocycle $c - d^1b$, de même classe, est normalisé par le point (iii) du nœud Cochaînes, cohomologie.

Le groupe $E_c$. Le premier membre de $\big((a, g)(b, h)\big)(a', k)$ vaut $a + gb + c(g, h) + gh\,a' + c(gh, k)$, et celui de $(a, g)\big((b, h)(a', k)\big)$ vaut $a + gb + gh\,a' + g\,c(h, k) + c(g, hk)$ : ils sont égaux, puisque $c$ est un cocycle, et la loi est associative.

Comme $c$ est normalisé, $(0, e)$ est neutre. L'élément $(a, g)$ a pour inverse à droite $\big(-g^{-1}(a + c(g, g^{-1})),\ g^{-1}\big)$. Or, si tout élément d'un monoïde a un inverse à droite, c'est un groupe : si $xy = e$ et $yz = e$, alors $x = x(yz) = (xy)z = z$, donc $yx = e$.

L'extension. L'application $i$ est un morphisme injectif, car $(a, e)(b, e) = (a + b + c(e, e), e) = (a + b, e)$, et $p$ est un morphisme surjectif de noyau $i(A)$. On a $(0, g)(a, e) = (ga, g) = (ga, e)(0, g)$, d'où $(0, g)\,i(a)\,(0, g)^{-1} = i(ga)$ ; tout $x = (b, g)$ s'écrit $i(b)\,(0, g)$, et $i(b)$ commute à $i(ga)$, $A$ étant abélien : $x\,i(a)\,x^{-1} = i(p(x)a)$. Enfin $(0, g)(0, h) = (c(g, h), gh) = i(c(g, h))\,(0, gh)$, donc $c_s = c$.

(iii) Soient $E$ et $E'$ munies de sections $s$ et $s'$, de même classe : $c_{s'} = c_s + d^1b$. Par le calcul de (i), la section $g \mapsto i'(-b(g))\,s'(g)$ a pour cocycle $c_s$ ; on peut donc supposer $c_{s'} = c_s = c$.

Tout $x \in E$ s'écrit de façon unique $i(a)\,s(g)$, avec $g = p(x)$, puisque $x\,s(g)^{-1} \in i(A)$. Posons $\theta(i(a)s(g)) = i'(a)s'(g)$. Le produit $$\begin{aligned} &i(a)s(g)\,i(b)s(h) \\ &\quad = i\big(a + gb + c(g, h)\big)\,s(gh) \end{aligned}$$ a la même expression dans $E'$ : $\theta$ est un morphisme, bijectif, avec $\theta \circ i = i'$ et $p' \circ \theta = p$.

Réciproquement, deux extensions équivalentes ont la même classe par (i). Une équivalence $\theta$ est injective : si $\theta(x) = e$, alors $p(x) = p'(\theta(x)) = e$, donc $x = i(a)$, et $i'(a) = e$ donne $a = 0$. Elle est surjective : $\theta \circ s$ est une section de $p'$, et tout $y \in E'$ s'écrit $i'(a)\,\theta(s(g)) = \theta(i(a)s(g))$. Toute classe est atteinte par (ii).

(iv) Si $s$ est un morphisme, $c_s = 0$. Si la classe est nulle, $c_s = d^1b$, et la section $s'(g) = i(-b(g))\,s(g)$ a un cocycle nul : $s'(g)s'(h) = s'(gh)$, et $s'$ est un morphisme.

Alors $H = s'(G)$ est un sous-groupe. Si $s'(g) \in i(A)$, alors $g = p(s'(g)) = e$, donc $H \cap i(A) = \{e\}$ ; et tout $x$ s'écrit $i(a)\,s'(p(x))$, donc $i(A)H = E$. Par Produits semi-directs, (ii), $E$ est isomorphe au produit semi-direct de $i(A)$ par $H$ pour la conjugaison, et le transport du point (iii) du même nœud, par $i$ et $s'$, l'identifie à $A \rtimes G$, puisque $s'(g)\,i(a)\,s'(g)^{-1} = i(ga)$.

(v) Soit $n = |G|$ et $g_1, \dots, g_n$ une énumération de $G$. Chaque fibre $p^{-1}(g_k)$ est non vide, $p$ étant surjectif ; on choisit un élément $x_k$ de $p^{-1}(g_k)$ par récurrence sur $k$, ce qui ne demande qu'un nombre fini de choix, et l'on pose $s(g_k) = x_k$.