Théorème de Schur-Zassenhaus, cas abélien

Soit $Q = G/N$ et $\pi : G \to Q$ la surjection canonique. Par le point (iv) du nœud G-modules, $N$, noté additivement, est un $Q$-module pour l'action $(xN) \cdot n = xnx^{-1}$.

(i) La suite $1 \to N \to G \xrightarrow{\pi} Q \to 1$, où $N \to G$ est l'inclusion, est une extension de $Q$ par ce module : la conjugaison dans $G$ induit l'action par définition. Comme $Q$ est fini, elle a une section et une classe dans ${H^2}(Q, N)$ (Extensions et H², (v)).

Or $N$ est fini d'ordre premier à $|Q|$, donc $H^2(Q, N) = 0$ (Annulation par l'ordre, (iii)). L'extension est scindée, et $\pi$ a une section $s$ qui est un morphisme, dont l'image est un complément de $N$ (même nœud Extensions et H², (iv)).

(ii) Soit $H$ un complément de $N$, et $s : Q \to H$ la réciproque de la restriction de $\pi$ à $H$, qui est un isomorphisme : elle est injective, puisque $H \cap N = \{e\}$, et surjective, puisque $NH = G$. L'application $$\theta : N \rtimes Q \to G, \qquad (n, q) \mapsto n\,s(q),$$ où le produit semi-direct est celui du $Q$-module $N$, est un morphisme : $n\,s(q)\,n'\,s(q') = n\,\big(s(q)n's(q)^{-1}\big)\,s(qq')$ et $s(q)n's(q)^{-1} = q \cdot n'$. Elle est injective, car $n\,s(q) = e$ entraîne $s(q) = n^{-1} \in N \cap H = \{e\}$, donc $q = e$ et $n = e$ ; elle est surjective, car $G = NH$ ; et $\theta(n, e) = n$.

Ainsi $\theta$ met en bijection les compléments de $N \times \{e\}$ dans $N \rtimes Q$ et ceux de $N$ dans $G$, et respecte la conjugaison par les éléments de $N$. Comme $H^1(Q, N) = 0$ (Annulation par l'ordre, (iii)), deux compléments de $N \times \{e\}$ sont conjugués par un élément de $N \times \{e\}$ (Compléments et H¹, (ii) et (iii)). Il en va de même dans $G$.