Théorème de Schur-Zassenhaus

(i) Pour un sous-groupe $H$, le deuxième théorème d'isomorphisme donne $NH/N \cong H/(H \cap N)$ (Isomorphismes, correspondance, (i) et (ii)), d'où, par le théorème de Lagrange, $$|NH| \cdot |H \cap N| = |N| \cdot |H|.$$ Si $H$ est un complément, $|G| = |N| \cdot |H|$, donc $|H| = m$. Réciproquement, si $|H| = m$, l'ordre de $H \cap N$ divise $|H|$ et $|N|$, premiers entre eux : $H \cap N = \{e\}$, puis $|NH| = |N|m = |G|$ et $NH = G$.

(ii) Raisonnons par récurrence forte sur $|G|$, l'énoncé portant sur tous les couples $(G, N)$ qui vérifient les hypothèses. Si $N = \{e\}$, le groupe $G$ convient. Sinon, soit $p$ un nombre premier qui divise $|N|$ (Nombres premiers, (ii)), $P$ un $p$-sous-groupe de Sylow de $N$ (Sylow, (i)), et $L = N_G(P)$ son normalisateur dans $G$. Par l'argument de Frattini (Argument de Frattini), $G = NL$.

Premier cas : $L \neq G$. Le sous-groupe $M = N \cap L$ est distingué dans $L$, et le deuxième théorème d'isomorphisme donne $L/M \cong NL/N = G/N$ : $|L/M| = m$, et $|M|$, qui divise $|N|$, est premier à $m$. Comme $|L| < |G|$, l'hypothèse de récurrence fournit un complément $H$ de $M$ dans $L$, d'ordre $|L/M| = m$ par (i) appliqué au couple $(L, M)$ ; c'est un complément de $N$ dans $G$ par (i) appliqué au couple $(G, N)$.

Second cas : $L = G$. Alors $P$ est distingué dans $G$. Soit $Z$ son centre, contenu dans $P \subset N$, qui n'est pas réduit à $\{e\}$, puisque $P$ est un p-groupe (Actions de groupe, (iv)). Pour $g \in G$, la conjugaison par $g$ est un automorphisme de $P$ ; elle envoie un élément qui commute à tout $P$ sur un élément qui commute à tout $P$, donc $gZg^{-1} = Z$ : $Z$ est distingué dans $G$, et il est abélien.

Dans $\bar G = G/Z$, le sous-groupe $\bar N = N/Z$ est distingué, d'ordre $|N|/|Z|$, et d'indice $m$ par le troisième théorème d'isomorphisme (Isomorphismes, correspondance, (iv)). Comme $|\bar G| < |G|$, l'hypothèse de récurrence fournit un complément $\bar K$ de $\bar N$ dans $\bar G$, d'ordre $m$ par (i) appliqué au couple $(\bar G, \bar N)$.

Son image réciproque $K$ dans $G$ est un sous-groupe contenant $Z$, d'ordre $m|Z|$ (même nœud, (iii)). Le sous-groupe $Z$ est distingué et abélien dans $K$, d'ordre une puissance de $p$, donc premier à son indice $m$. Le cas abélien (Schur-Zassenhaus abélien, (i)) fournit un sous-groupe $H$ de $K$ d'ordre $m$, qui est un complément de $N$ dans $G$ par (i).