Théorème 1Suites de composition et théorème de Jordan-Hölder

Deuxième et troisième théorèmes d'isomorphisme, théorème de correspondance

Dans tout ce chapitre, les groupes sont quelconques, finis ou non, sauf mention contraire ; ils sont notés multiplicativement, de neutre $e$ . Pour deux parties $H$ et $K$ d'un groupe, on note $HK = \{hk : h \in H,\ k \in K\}$ .

Soit $N$ un sous-groupe distingué de $G$ et $\pi : G \to G/N$ la surjection canonique (Groupe quotient). Si $H$ est un sous-groupe de $G$ qui contient $N$ , alors $N$ est distingué dans $H$ , et les classes $xN$ , pour $x \in H$ , sont les mêmes ensembles qu'on les calcule dans $H$ ou dans $G$ , avec la même loi $(xN)(yN) = xyN$ .

Le groupe quotient $H/N$ est donc la partie $\pi(H)$ de $G/N$ , munie de la loi induite ; c'est un sous-groupe de $G/N$ , image de $H$ par le morphisme $\pi$ (Morphisme, (iii)).

Énoncé

(i) Produit. Soient $H$ un sous-groupe et $N$ un sous-groupe distingué de $G$ . Alors $HN = NH$ , et c'est un sous-groupe de $G$ qui contient $N$ et dans lequel $N$ est distingué. Si $H$ est lui aussi distingué dans $G$ , le sous-groupe $HN$ l'est.

(ii) Deuxième théorème d'isomorphisme. Sous les mêmes hypothèses, $H \cap N$ est distingué dans $H$ , et l'application $h(H \cap N) \mapsto hN$ est un isomorphisme $H/(H \cap N) \;\cong\; HN/N.$

(iii) Correspondance. Soit $N$ distingué dans $G$ . L'application $H \mapsto H/N = \pi(H)$ est une bijection de l'ensemble des sous-groupes de $G$ qui contiennent $N$ sur l'ensemble des sous-groupes de $G/N$ , de réciproque $K \mapsto \pi^{-1}(K)$ . Elle respecte l'inclusion dans les deux sens, et $H$ est distingué dans $G$ si et seulement si $H/N$ est distingué dans $G/N$ .

(iv) Troisième théorème d'isomorphisme. Si $N \subset H$ sont deux sous-groupes distingués de $G$ , l'application $(xN)(H/N) \mapsto xH$ est un isomorphisme $(G/N)/(H/N) \;\cong\; G/H.$

Démonstration

(i) Pour $h \in H$ et $n \in N$ , on a $hn = (hnh^{-1})h \in NH$ et $nh = h(h^{-1}nh) \in HN$ , puisque $N$ est distingué : $HN = NH$ .

L'ensemble $HN$ contient $e = ee$ . Pour $x = hn$ et $y = h'n'$ dans $HN$ , $\begin{aligned} xy^{-1} &= hn\,n'^{-1}h'^{-1} \\ &= (hh'^{-1})\big(h'\,nn'^{-1}\,h'^{-1}\big), \end{aligned}$ produit d'un élément de $H$ et d'un élément de $N$ : $HN$ est un sous-groupe (Sous-groupe, (i)). Il contient $N = eN$ , et $N$ , distingué dans $G$ , l'est dans $HN$ .

Si $H$ est aussi distingué, alors pour $g \in G$ , on a $g\,hn\,g^{-1} = (ghg^{-1})(gng^{-1}) \in HN$ .

(ii) La restriction de $\pi$ à $H$ est un morphisme $H \to G/N$ , de noyau $H \cap N$ ; ce noyau est donc distingué dans $H$ (Sous-groupe distingué, (iii)).

Son image est $\{hN : h \in H\}$ . Comme $hnN = hN$ pour $n \in N$ , c'est aussi $\{xN : x \in HN\}$ , c'est-à-dire le groupe quotient $HN/N$ , vu comme sous-groupe de $G/N$ comme on l'a expliqué plus haut. Le théorème d'isomorphisme (Théorème d'isomorphisme) conclut.

(iii) Soit $H$ un sous-groupe contenant $N$ . On a $H \subset \pi^{-1}(\pi(H))$ . Réciproquement, si $\pi(x) = \pi(h)$ avec $h \in H$ , alors $h^{-1}x \in N \subset H$ , donc $x \in H$ : ainsi $\pi^{-1}(\pi(H)) = H$ .

Soit $K$ un sous-groupe de $G/N$ . Alors $\pi^{-1}(K)$ est un sous-groupe de $G$ (Morphisme, (iii)), qui contient $\pi^{-1}(\{N\}) = N$ , et $\pi(\pi^{-1}(K)) = K$ puisque $\pi$ est surjective. Les deux applications sont donc réciproques l'une de l'autre, et toutes deux respectent l'inclusion.

Si $H$ est distingué dans $G$ , alors $\pi(g)\pi(H)\pi(g)^{-1} = \pi(gHg^{-1}) = \pi(H)$ pour tout $g$ . Réciproquement, si $\pi(H)$ est distingué dans $G/N$ , alors pour $g \in G$ et $h \in H$ , $\pi(ghg^{-1}) = \pi(g)\pi(h)\pi(g)^{-1} \in \pi(H)$ , donc $ghg^{-1} \in \pi^{-1}(\pi(H)) = H$ .

(iv) Par (iii), $H/N$ est distingué dans $G/N$ . La surjection canonique $p : G \to G/H$ s'annule sur $N \subset H$ ; elle se factorise (Théorème d'isomorphisme) en un morphisme $q : G/N \to G/H$ , $q(xN) = xH$ , surjectif comme $p$ .

Son noyau est formé des $xN$ tels que $xH = H$ , c'est-à-dire $x \in H$ : c'est $\pi(H) = H/N$ . Le théorème d'isomorphisme, appliqué à $q$ , donne l'isomorphisme annoncé.

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Remarque

Dans ${\mathbb Z/12\mathbb Z}$ , notons $\langle \bar k \rangle$ le sous-groupe engendré par $\bar k$ , et prenons $N = \langle \bar 4 \rangle = \{\bar 0, \bar 4, \bar 8\}$ . Les sous-groupes qui contiennent $N$ sont $\mathbb Z/12\mathbb Z$ , $\langle \bar 2 \rangle$ et $N$ lui-même, et le quotient $(\mathbb Z/12\mathbb Z)/N$ , cyclique d'ordre $4$ , a bien trois sous-groupes, d'ordres $4$ , $2$ et $1$ (Groupes cycliques, (iii)).

Le troisième théorème se lit alors comme une simplification de fractions : le quotient de $(\mathbb Z/12\mathbb Z)/N$ , d'ordre $4$ , par $\langle \bar 2 \rangle/N$ , d'ordre $2$ , est isomorphe à $(\mathbb Z/12\mathbb Z)/\langle \bar 2 \rangle$ , d'ordre $2$ , « comme si l'on simplifiait par $N$ ».

Remarque

L'erreur la plus répandue est d'appliquer (i) ou (ii) sans hypothèse de distinction : le produit de deux sous-groupes n'est pas un sous-groupe en général. Dans $\mathfrak S_3$ , les sous-groupes engendrés par les transpositions $(1\ 2)$ et $(1\ 3)$ ont un produit à quatre éléments, qui n'est pas un sous-groupe, comme le relève le nœud Produits semi-directs.

Remarque

Le point (iii) dit que tout ce qui se passe « au-dessus de $N$ » dans $G$ se lit dans $G/N$ . C'est l'outil qui fera passer, au nœud Suites de composition, de la simplicité d'un quotient $G/N$ à la maximalité de $N$ parmi les sous-groupes distingués de $G$ .

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Lemme du papillon de Zassenhaus