ChapitreGroupes finis

Suites de composition et théorème de Jordan-Hölder

Un groupe fini se décompose, par une suite de sous-groupes emboîtés, chacun distingué dans le précédent, en quotients successifs qui sont des groupes simples. Le théorème de Jordan-Hölder dit que ces quotients, les facteurs de composition, ne dépendent pas de la suite choisie, à l'ordre et à isomorphisme près, comme les facteurs premiers d'un entier ne dépendent pas de la façon de le factoriser.

Le chapitre établit les deuxième et troisième théorèmes d'isomorphisme et le théorème de correspondance, puis le lemme du papillon de Zassenhaus et le théorème de raffinement de Schreier, dont Jordan-Hölder se déduit pour tout groupe qui a une suite de composition ; un groupe fini en a toujours une. Il démontre que $\mathfrak A_5$ est simple, calcule les facteurs de $\mathbb Z/12\mathbb Z$, de $\mathfrak S_4$ et de $\mathfrak S_5$, et caractérise les groupes finis résolubles comme ceux dont les facteurs de composition sont d'ordre premier. Aucune forme du choix n'intervient.