Exemples de suites et de facteurs de composition

Dans tous les cas, un facteur d'ordre premier $p$ est simple (Suites de composition, (i)) et cyclique, isomorphe à $\mathbb Z/p\mathbb Z$ (Groupes cycliques, (i) et (ii)). L'ordre d'un facteur se calcule par le théorème de Lagrange (Lagrange).

(i) Les sous-groupes de $\mathbb Z/12\mathbb Z$ sont, pour chaque diviseur $d$ de $12$, l'unique sous-groupe $C_d$ d'ordre $d$ (Groupes cycliques, (iii)) ; il est engendré par $\overline{12/d}$, d'ordre $d$ par le même point. On a $C_d \subset C_{d'}$ si et seulement si $d \mid d'$ : le sens direct est le théorème de Lagrange, et, si $d \mid d'$, le groupe cyclique $C_{d'}$ a un sous-groupe d'ordre $d$, qui est $C_d$ par unicité.

Tous ces sous-groupes sont distingués, le groupe étant abélien, et leurs quotients sont abéliens ; par Suites de composition, (i), un quotient $C_{d'}/C_d$ est simple si et seulement si son ordre $d'/d$ est premier.

Les suites de composition correspondent donc aux suites de diviseurs $12 = d_0, d_1, \dots, d_r = 1$ dont chacun divise le précédent avec un quotient premier : ce sont $12, 6, 3, 1$ ; $12, 6, 2, 1$ ; et $12, 4, 2, 1$. Comme $C_6 = \langle \bar 2 \rangle$, $C_4 = \langle \bar 3 \rangle$, $C_3 = \langle \bar 4 \rangle$ et $C_2 = \langle \bar 6 \rangle$, ce sont les trois suites annoncées, de facteurs d'ordres $2, 2, 3$, puis $2, 3, 2$, puis $3, 2, 2$.

(ii) La suite. Le groupe $\mathfrak A_4$, noyau de la signature, est distingué dans $\mathfrak S_4$, d'ordre $12$ (Le groupe 𝔄₄, (i)). Le sous-groupe $V$ est distingué dans $\mathfrak S_4$ (𝔖ₙ non résoluble, remarque), et contenu dans $\mathfrak A_4$, donc distingué dans $\mathfrak A_4$. Le sous-groupe $W$ de $V$ y est distingué, $V$ étant abélien.

Les ordres $24, 12, 4, 2, 1$ donnent des facteurs d'ordres $2, 3, 2, 2$, tous premiers.

Toutes les suites. Soit $(G_i)$ une suite de composition de $\mathfrak S_4$. Par le théorème de Jordan-Hölder (Jordan-Hölder), ses facteurs sont, dans un certain ordre, d'ordres $2, 3, 2, 2$ ; en particulier $G_1$ est distingué d'indice $2$ ou $3$, donc d'ordre $12$ ou $8$.

S'il était d'ordre $8$, le quotient $\mathfrak S_4/G_1$ serait d'ordre $3$, et tout élément $y$ de ce quotient vérifierait $y^3 = e$ (Groupes cycliques, (i)) : $\sigma^3 \in G_1$ pour tout $\sigma$. Chaque transposition $t$ vérifie $t = t^3$ : $G_1$ contiendrait les six transpositions, les huit $3$-cycles $(a\ b\ c) = (a\ c)(a\ b)$ et les trois doubles transpositions $(a\ b)(c\ d)$, soit avec l'identité dix-huit éléments au moins. Donc $|G_1| = 12$, et $G_1 = \mathfrak A_4$, seul sous-groupe d'ordre $12$ de $\mathfrak S_4$ (Le groupe 𝔄₄, (i)).

Le terme $G_2$ est d'indice $2$ ou $3$ dans $\mathfrak A_4$. L'ordre $6$ est exclu (Le groupe 𝔄₄, (ii)) ; donc $|G_2| = 4$. Ses éléments ont un ordre qui divise $4$ (Groupes cycliques, (i)), donc il ne contient aucun $3$-cycle, et il est contenu dans $V$, qui a lui aussi quatre éléments : $G_2 = V$.

Enfin $G_3$ est un sous-groupe d'ordre $2$ de $V$, c'est-à-dire $\{e, t\}$ pour l'une des trois doubles transpositions $t$, et $G_4 = \{e\}$. Réciproquement, chacun de ces trois choix donne une suite de composition, comme pour $W$.

(iii) Le groupe $\mathfrak A_5$ est distingué d'indice $2$ dans $\mathfrak S_5$ (Ordres < 60, (v)) : le facteur $\mathfrak S_5/\mathfrak A_5$, d'ordre $2$, est simple, et le facteur $\mathfrak A_5/\{e\} \cong \mathfrak A_5$ l'est aussi (𝔄₅ simple).

(iv) Les suites $\mathbb Z/4\mathbb Z \supset \langle \bar 2 \rangle \supset \{\bar 0\}$ et $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^2 \supset \mathbb Z/2\mathbb Z \times \{\bar 0\} \supset \{(\bar 0, \bar 0)\}$ ont des facteurs d'ordres $2$ et $2$. Les suites $\mathbb Z/6\mathbb Z \supset \langle \bar 2 \rangle \supset \{\bar 0\}$ et $\mathfrak S_3 \supset \mathfrak A_3 \supset \{e\}$, où $\mathfrak A_3$ est le noyau de la signature, ont des facteurs d'ordres $2$ et $3$.

Le groupe $\mathbb Z/4\mathbb Z$ est cyclique, alors que tout élément $x$ de $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^2$ vérifie $x + x = 0$, de sorte qu'aucun n'est d'ordre $4$ ; le groupe $\mathbb Z/6\mathbb Z$ est abélien, et $\mathfrak S_3$ ne l'est pas (Groupe, (ii)).