Théorème 5Suites de composition et théorème de Jordan-Hölder

Résolubilité et facteurs de composition

Énoncé

(i) Un sous-groupe d'un groupe résoluble est résoluble.

(ii) Un groupe qui a une suite de composition est résoluble si et seulement si tous ses facteurs de composition sont cycliques d'ordre premier.

(iii) Un groupe fini est résoluble si et seulement si tous ses facteurs de composition sont d'ordre premier. En particulier, un groupe fini simple est résoluble si et seulement s'il est d'ordre premier.

Démonstration

(i) Soit $G = G_0 \supset \cdots \supset G_r = \{e\}$ une suite de résolubilité de $G$ (Groupes résolubles), $H$ un sous-groupe, et $H_i = H \cap G_i$ . Pour $h \in H_{i-1}$ et $x \in H_i$ , on a $hxh^{-1} \in H$ , et $hxh^{-1} \in G_i$ puisque $G_i$ est distingué dans $G_{i-1}$ : $H_i$ est distingué dans $H_{i-1}$ .

Le deuxième théorème d'isomorphisme (Isomorphismes, correspondance, (ii)), appliqué dans le groupe $G_{i-1}$ au sous-groupe $H_{i-1}$ et au sous-groupe distingué $G_i$ , donne, puisque $H_{i-1} \cap G_i = H \cap G_i = H_i$ , $H_{i-1}/H_i \;\cong\; H_{i-1}G_i/G_i,$ sous-groupe du groupe abélien $G_{i-1}/G_i$ (même nœud, (iii)), donc abélien. Ainsi $(H_i)$ est une suite de résolubilité de $H$ .

(ii) Une suite de composition dont les facteurs sont cycliques est une suite de résolubilité, ses facteurs étant abéliens.

Réciproquement, soit $(G_i)_{0 \leqslant i \leqslant r}$ une suite de composition, et $(H_j)_{0 \leqslant j \leqslant s}$ une suite de résolubilité de $G$ , qui est une suite normale à facteurs abéliens. Si $G$ est trivial, il n'a aucun facteur de composition, et il n'y a rien à démontrer ; sinon $r, s \geqslant 1$ , et, par le théorème de Schreier (Raffinement de Schreier), elles ont des raffinements équivalents $(K_k)$ et $(L_k)$ .

Les facteurs de $(L_k)$ sont abéliens. Soit $L_{k-1} \supset L_k$ deux termes consécutifs, compris entre $H_{j-1}$ et $H_j$ . Comme $H_j$ est distingué dans $H_{j-1}$ , il l'est dans $L_k$ et dans $L_{k-1}$ . Par la correspondance (Isomorphismes, correspondance, (iii)), $L_{k-1}/H_j$ est un sous-groupe du groupe abélien $H_{j-1}/H_j$ , donc abélien, et $L_k/H_j$ y est distingué.

Le troisième théorème d'isomorphisme (même nœud, (iv)), appliqué dans $L_{k-1}$ , donne $L_{k-1}/L_k \;\cong\; (L_{k-1}/H_j)/(L_k/H_j),$ quotient d'un groupe abélien, abélien comme lui.

Conclusion. Les facteurs non triviaux de $(K_k)$ sont les $G_{i-1}/G_i$ (Jordan-Hölder, (i)), et chacun est isomorphe à un facteur de $(L_k)$ , donc abélien. Un groupe abélien simple est cyclique d'ordre premier (Suites de composition, (i)).

(iii) Un groupe fini a une suite de composition (même nœud, (iii)), et un groupe d'ordre premier est cyclique (Groupes cycliques, (ii)). Enfin, dans une suite de composition d'un groupe simple $G$ , le terme $G_1$ est distingué et distinct de $G$ , puisque $G/G_1$ n'est pas trivial : il vaut $\{e\}$ , et la seule suite de composition de $G$ est $G \supset \{e\}$ , de facteur $G$ .

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Remarque

Le point (iii) redonne, par une autre voie, que $\mathfrak S_5$ n'est pas résoluble : il a pour facteur de composition $\mathfrak A_5$ , d'ordre $60$ (Exemples, (iii)). Le point (i) en déduit que $\mathfrak S_n$ ne l'est pas non plus pour $n \geqslant 5$ , puisqu'il contient le sous-groupe des permutations qui fixent $6, \dots, n$ , isomorphe à $\mathfrak S_5$ .

La démonstration du nœud 𝔖ₙ non résoluble, par les commutateurs de $3$ -cycles, se passait de la simplicité de $\mathfrak A_5$ ; celle-ci en dit davantage, puisqu'elle identifie l'obstacle.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de confondre suite de résolubilité et suite de composition. Les facteurs de composition d'un groupe résoluble sont abéliens et simples, donc cycliques d'ordre premier ; une suite de résolubilité n'a que des facteurs abéliens. Ainsi $\mathfrak S_4 \supset \mathfrak A_4 \supset V \supset \{e\}$ , où $V$ est formé de l'identité et des trois doubles transpositions, n'est pas une suite de composition, puisque son dernier facteur, $V$ , est d'ordre $4$ .

Le théorème de Schreier et le point (i) du nœud Jordan-Hölder disent qu'on la raffine en une suite de composition ; ici, il suffit d'insérer un sous-groupe d'ordre $2$ de $V$ , comme au nœud Exemples, (ii).

Remarque

C'est sous cette forme que la résolubilité sert dans la théorie de Galois (Radicaux) : une suite de composition à facteurs cycliques d'ordre premier correspond à une tour d'extensions dont chaque étage, lorsque le corps de base contient les racines $p$ -ièmes de l'unité, s'obtient en adjoignant une racine $p$ -ième d'un élément.

Repose sur

Exemples de suites et de facteurs de composition

Sert à

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