Le groupe symétrique n'est pas résoluble pour n ≥ 5

Pour $n \leqslant 4$, $\mathfrak S_n$ est résoluble. Pour $n \leqslant 2$, il est abélien.

Pour $n = 3$, le noyau $\mathfrak A_3$ de la signature (Permutations, signature) est formé de l'identité et des deux $3$-cycles, et $\mathfrak S_3 \supset \mathfrak A_3 \supset \{e\}$ a des quotients d'ordres $2$ et $3$, donc cycliques.

Pour $n = 4$, on prend $\mathfrak S_4 \supset \mathfrak A_4 \supset V \supset \{e\}$, où $V$ est formé de l'identité et des trois doubles transpositions. Le produit de deux doubles transpositions distinctes est la troisième, et chacune est d'ordre $2$ : $V$ est un sous-groupe, abélien comme tout groupe dont les éléments vérifient $x^2 = e$.

Il est distingué dans $\mathfrak S_4$ : pour toute permutation $\sigma$, $\sigma(a\ b)\sigma^{-1} = (\sigma(a)\ \sigma(b))$, comme on le voit en suivant les images, donc le conjugué d'une double transposition en est une.

Les quotients sont d'ordres $2$, $3$ et $4$, et abéliens : les deux premiers sont cycliques, et le dernier est $V$. C'est la raison profonde de l'existence des formules de Cardan et de Ferrari pour les degrés $3$ et $4$.

L'argument tombe en défaut pour $n = 4$ précisément parce qu'on ne trouve plus cinq éléments distincts : le commutateur de deux $3$-cycles de $\mathfrak S_4$ est une double transposition ou l'identité, jamais un $3$-cycle, et la suite des $G_i$ peut alors descendre jusqu'à $V$.