Théorème 15Groupes finis

Les vingt-quatre groupes d'ordre au plus 12

Énoncé

À isomorphisme près, il existe exactement vingt-quatre groupes d'ordre au plus $12$ :

Ordre	Nombre	Groupes
$1$	$1$	$\{e\}$
$2, 3, 5, 7, 11$	$1$	$\mathbb Z/p\mathbb Z$
$4$	$2$	$\mathbb Z/4\mathbb Z$ , $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^2$
$6$	$2$	$\mathbb Z/6\mathbb Z$ , $\mathcal D_3 \cong \mathfrak S_3$
$8$	$5$	$\mathbb Z/8\mathbb Z$ , $\mathbb Z/4\mathbb Z \times \mathbb Z/2\mathbb Z$ , $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^3$ , $\mathcal D_4$ , $\mathcal Q_8$
$9$	$2$	$\mathbb Z/9\mathbb Z$ , $(\mathbb Z/3\mathbb Z)^2$
$10$	$2$	$\mathbb Z/10\mathbb Z$ , $\mathcal D_5$
$12$	$5$	$\mathbb Z/12\mathbb Z$ , $\mathbb Z/2\mathbb Z \times \mathbb Z/6\mathbb Z$ , $\mathcal D_6$ , $\mathfrak A_4$ , $\mathrm{Dic}_3$

Démonstration

L'ordre $1$ ne porte que le groupe trivial. Les ordres premiers $2, 3, 5, 7, 11$ , les ordres $4 = 2^2$ et $9 = 3^2$ , et les ordres $6 = 2 \times 3$ et $10 = 2 \times 5$ sont réglés par Ordres p, p², 2p, pq, (i), (ii) et (iii) ; pour l'ordre $6$ , $\mathcal D_3 \cong \mathfrak S_3$ par la reconnaissance des groupes diédraux (Diédraux, quaternions, (ii)), appliquée à un 3-cycle et à une transposition.

Les ordres $8$ et $12$ sont les nœuds Groupes d'ordre 8 et Groupes d'ordre 12. On compte $1 + 5 \times 1 + 2 + 2 + 5 + 2 + 2 + 5 = 24$ .

□

Remarque

Le nombre de groupes ne croît pas avec l'ordre, mais avec la façon dont il se factorise : les ordres premiers n'en portent qu'un, les produits de deux premiers distincts au plus deux, et les ordres $8 = 2^3$ et $12 = 2^2 \times 3$ , riches en facteurs, en portent cinq.

Le nombre de groupes d'ordre

n

, à isomorphisme près, pour

n

1

12

. Les barres hautes sont celles des ordres

8

12

; les ordres premiers, en gris, n'en portent qu'un.

Remarque

Chacun de ces vingt-quatre groupes est décrit en détail, avec sa table, son treillis de sous-groupes, une réalisation géométrique et ses apparitions en algèbre, dans le document Liste des premiers groupes finis, proposé ci-dessous en téléchargement. Ce document résume les théorèmes de Sylow et la classification des groupes abéliens, que ce graphe démontre.

Remarque

La croissance devient vite vertigineuse pour les puissances de $2$ : il y a $14$ groupes d'ordre $16$ et $51$ d'ordre $32$ ; ces nombres, obtenus par des énumérations sur ordinateur, sont admis ici.

Tous les groupes de la liste sont résolubles. Les groupes abéliens le sont ; $\mathcal D_n \supset \langle r \rangle \supset \{e\}$ , $\mathcal Q_8 \supset \langle i \rangle \supset \{e\}$ et $\mathrm{Dic}_3 \supset \mathbb Z/3\mathbb Z \times \{\bar 0\} \supset \{e\}$ ont des quotients d'ordres $2$ ou $4$ et cycliques, puis cycliques ; et $\mathfrak A_4 \supset V \supset \{e\}$ , où $V$ est formé de l'identité et des trois doubles transpositions, est une suite de résolubilité, comme le montre le nœud 𝔖ₙ non résoluble.

À l'inverse, le groupe alterné $\mathfrak A_5$ , noyau de la signature sur $\mathfrak S_5$ , d'ordre $60$ , contient tous les $3$ -cycles, et le même nœud montre qu'il n'est pas résoluble. C'est le plus petit groupe non résoluble : le nœud Ordres < 60 démontre que tout groupe d'ordre inférieur à $60$ est résoluble, par les théorèmes de Sylow et des dénombrements.

Document à télécharger

Liste des premiers groupes finis

Les vingt-quatre groupes d'ordre au plus douze, un par un — fiche signalétique, présentation, treillis des sous-groupes, réalisation géométrique et liens avec l'algèbre.

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Les cinq groupes d'ordre 8 Les cinq groupes d'ordre 12 Le groupe symétrique n'est pas résoluble pour n ≥ 5

Sert à

Tout groupe d'ordre inférieur à 60 est résoluble