Théorème 12Groupes finis

Les cinq groupes d'ordre 8

Énoncé

Un groupe d'ordre $8$ est isomorphe à un et un seul des groupes $\mathbb Z/8\mathbb Z$ , $\mathbb Z/4\mathbb Z \times \mathbb Z/2\mathbb Z$ , $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^3$ , $\mathcal D_4$ et $\mathcal Q_8$ .

Démonstration

Les groupes abéliens. Les partitions de $3$ donnent les trois premiers, deux à deux non isomorphes (Groupes abéliens finis, (ii)).

Les groupes non abéliens. Soit $G$ d'ordre $8$ non abélien. Si tous ses éléments vérifiaient $x^2 = e$ , on aurait $xy = (xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1} = yx,$ et $G$ serait abélien ; si $G$ avait un élément d'ordre $8$ , il serait cyclique. Il existe donc $x$ d'ordre $4$ (Groupes cycliques, (i)).

Le sous-groupe $\langle x \rangle$ , d'indice $2$ , est distingué (Sous-groupe distingué, (iv)) ; soit $y \notin \langle x \rangle$ . L'élément $yxy^{-1}$ est d'ordre $4$ et appartient à $\langle x \rangle$ , donc vaut $x$ ou $x^3 = x^{-1}$ (Groupes cycliques, (iii)) ; s'il valait $x$ , $y$ commuterait avec $x$ , et $G$ , formé des $x^my^b$ comme dans Diédraux, quaternions, (ii), serait abélien. Donc $yxy^{-1} = x^{-1}$ .

Le carré $y^2$ est dans $\langle x \rangle$ , le quotient $G/\langle x \rangle$ étant d'ordre $2$ ; il ne vaut ni $x$ ni $x^3$ , sinon $y$ serait d'ordre $8$ . Si $y^2 = e$ , $G \cong \mathcal D_4$ (Diédraux, quaternions, (ii)) ; si $y^2 = x^2$ , $G \cong \mathcal Q_8$ (même nœud, (iv)).

Ils sont distincts. $\mathcal D_4$ a cinq éléments d'ordre $2$ , $r^2$ et les quatre $r^ms$ (même nœud, (i)), et $\mathcal Q_8$ n'en a qu'un (même nœud, (iii)) ; aucun des deux n'est abélien, et un isomorphisme conserve l'ordre des éléments.

□

Remarque

Les deux groupes non abéliens ont des treillis de sous-groupes très différents, ce qui donne une autre façon de les séparer.

À gauche, les dix sous-groupes de

\mathcal D_4

: cinq d'ordre

2

, dont seul

\langle r^2 \rangle

est distingué, et trois d'ordre

4

, le cyclique

\langle r \rangle

et deux groupes de Klein. À droite, les six sous-groupes de

\mathcal Q_8

, tous distingués : un seul d'ordre

2

, contenu dans les trois d'ordre

4

. En rouge, les sous-groupes non distingués.

Ces décomptes ont été vérifiés par une énumération exhaustive des sous-groupes.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que deux groupes ayant le même nombre d'éléments de chaque ordre sont isomorphes. C'est vrai ici, mais faux en général : $\mathbb Z/4\mathbb Z \times \mathbb Z/4\mathbb Z$ et $\mathbb Z/2\mathbb Z \times \mathcal Q_8$ , d'ordre $16$ , ont chacun un élément d'ordre $1$ , trois d'ordre $2$ et douze d'ordre $4$ , alors que le premier est abélien et le second non. Pour l'ordre $8$ , ce critère et la commutativité suffisent.

Remarque

Le décompte des ordres sépare les deux groupes non abéliens d'ordre $8$ , mais un invariant aussi riche que la table des caractères ne les sépare pas : $\mathcal D_4$ et $\mathcal Q_8$ ont la même, comme le montre le nœud 𝒟₄ et 𝒬₈ du chapitre sur les représentations, dans la théorie de Galois.

Repose sur

Groupes diédraux et groupe des quaternions Classification des groupes abéliens finis

Sert à

Les vingt-quatre groupes d'ordre au plus 12