Classification des groupes abéliens finis

(i) Soit $|G| = qr$ avec $q \wedge r = 1$, et $uq + vr = 1$ (PGCD, Bézout, (ii)). Tout $x$ s'écrit $$x = vr\,x + uq\,x,$$ avec $q(vr\,x) = v\,|G|\,x = 0$ et $r(uq\,x) = 0$ (Groupes cycliques, (i)) : $G = G[q] + G[r]$.

Si $x \in G[q] \cap G[r]$, alors $x = v\,r x + u\,q x = 0$. Par Produits semi-directs, (ii), $G \cong G[q] \times G[r]$, tout sous-groupe étant distingué.

Si un premier $\ell$ divisant $r$ divisait $|G[q]|$, le théorème de Cauchy (Cauchy) fournirait $x \in G[q]$ d'ordre $\ell$, et $\ell$ diviserait $q$ (Groupes cycliques, (i)) : impossible.

Donc $|G[q]|$, qui divise $qr$ par Lagrange, est premier à $r$, et divise $q$ par le lemme de Gauss ; de même $|G[r]|$ divise $r$, et $|G[q]| \cdot |G[r]| = qr$ impose $|G[q]| = q$. On conclut par récurrence sur le nombre de facteurs premiers.

(ii) Lemme du supplémentaire. Soit $G$ abélien d'ordre une puissance de $p$, et $x$ un élément d'ordre maximal $p^k$. Montrons, par récurrence sur $|G|$, que $\langle x \rangle$ a un supplémentaire $K$, sous-groupe tel que $G = \langle x \rangle + K$ et $\langle x \rangle \cap K = \{0\}$. Si $G = \langle x \rangle$, ce qui couvre le cas $G = \{0\}$, on prend $K = \{0\}$.

Sinon, soit $y \notin \langle x \rangle$ d'ordre minimal parmi ces éléments ; il est non nul, et l'ordre de $py$ est celui de $y$ divisé par $p$ (Groupes cycliques, (iii)), donc plus petit : $py \in \langle x \rangle$, soit $py = jx$.

Si $p \nmid j$, $jx$ serait d'ordre $p^k$ (même nœud, (iii)), et $y$ d'ordre $p^{k+1}$, contre la maximalité ; donc $j = pj'$, et $z = y - j'x$ vérifie $pz = 0$ et $z \notin \langle x \rangle$.

Soit $Y = \langle z \rangle$, d'ordre $p$ ; $Y \cap \langle x \rangle$, sous-groupe de $Y$, est réduit à $\{0\}$, sans quoi il vaudrait $Y$ et contiendrait $z$.

Soit $\pi : G \to G/Y$, groupe abélien d'ordre $|G|/p$, puissance de $p$. L'image $\pi(x)$ a encore l'ordre $p^k$, car $ix \in Y$ entraîne $ix = 0$, et c'est l'ordre maximal dans $G/Y$, l'ordre d'une image divisant celui de l'élément.

Par hypothèse de récurrence, appliquée à $G/Y$ et à $\pi(x)$, on a $G/Y = \langle \pi(x) \rangle + \bar K$ avec $\langle \pi(x) \rangle \cap \bar K = \{0\}$ ; soit $K = \pi^{-1}(\bar K)$, qui contient $Y$.

Pour $g \in G$, écrivons $\pi(g) = \pi(ix) + \bar k$ avec $\bar k \in \bar K$ : alors $g - ix \in K$, et $G = \langle x \rangle + K$.

Si $ix \in K$, $\pi(ix) \in \bar K \cap \langle \pi(x) \rangle$ est nul, donc $ix \in Y \cap \langle x \rangle$, et $ix = 0$.

Existence. Par récurrence sur $|G|$, montrons que tout groupe abélien $G$ d'ordre une puissance de $p$ est isomorphe à un produit $\mathbb Z/p^{k_1}\mathbb Z \times \cdots \times \mathbb Z/p^{k_r}\mathbb Z$ avec $k_1 \geqslant \cdots \geqslant k_r \geqslant 1$, le groupe nul correspondant à $r = 0$.

Si $G \neq \{0\}$, soit $x$ d'ordre maximal $p^{k_1}$, avec $k_1 \geqslant 1$, et $K$ un supplémentaire de $\langle x \rangle$ donné par le lemme. Par Produits semi-directs, (ii), tout sous-groupe étant distingué, $$G \cong \langle x \rangle \times K \cong \mathbb Z/p^{k_1}\mathbb Z \times K ;$$ et $|K| = |G|/p^{k_1} < |G|$.

Par hypothèse de récurrence, $K \cong \prod_{i \geqslant 2} \mathbb Z/p^{k_i}\mathbb Z$ avec $k_2 \geqslant \cdots \geqslant k_r$, et $k_2 \leqslant k_1$, puisque $K$ contient un élément d'ordre $p^{k_2}$ et que $p^{k_1}$ est l'ordre maximal dans $G$. Les cardinaux donnent $k_1 + \cdots + k_r = a$.

Unicité. Dans $\mathbb Z/p^k\mathbb Z$, le sous-groupe $p^t(\mathbb Z/p^k\mathbb Z)$, engendré par $\overline{p^t}$, a $p^{k-t}$ éléments si $t \leqslant k$ (Groupes cycliques, (iii)) et est nul sinon.

Pour $G = \prod_i \mathbb Z/p^{k_i}\mathbb Z$, on a donc $$|p^tG| = p^{\sum_i \max(k_i - t, 0)},$$ et $|p^tG|/|p^{t+1}G| = p^{c_t}$, où $c_t$ est le nombre d'indices $i$ tels que $k_i > t$.

Un isomorphisme envoie $p^tG$ sur $p^tG'$ : les entiers $c_t$, pour $t \geqslant 0$, ne dépendent que de la classe d'isomorphisme de $G$, et ils déterminent la partition, puisque le nombre de $k_i$ égaux à $t$ est $c_{t-1} - c_t$.

(iii) On combine (i) et (ii) : la donnée d'un groupe abélien d'ordre $\prod p_i^{a_i}$ équivaut, à isomorphisme près, à celle d'une partition de chaque $a_i$.