Théorème de Cauchy

Argument de McKay. Soit $E$ l'ensemble des $(x_1, \dots, x_p) \in G^p$ tels que $x_1x_2\cdots x_p = e$ ; il a $|G|^{p-1}$ éléments, $x_p$ étant déterminé par les autres, nombre divisible par $p$.

La permutation circulaire $$\sigma(x_1, x_2, \dots, x_p) = (x_2, \dots, x_p, x_1)$$ préserve $E$, car $x_1(x_2\cdots x_p) = e$ entraîne $(x_2 \cdots x_p)x_1 = e$, et $\sigma^p$ est l'identité.

Le morphisme $k \mapsto \sigma^k$ de $\mathbb Z$ dans le groupe des bijections de $E$ s'annule donc sur $p\mathbb Z$, et passe au quotient (Théorème d'isomorphisme) : $\bar k \cdot t = \sigma^k(t)$ est une action du groupe $\mathbb Z/p\mathbb Z$, d'ordre $p$, sur $E$. Par Actions de groupe, (iv), $|E^{\mathbb Z/p\mathbb Z}| \equiv |E| \equiv 0 \pmod p$.

Les points fixes sont les $p$-uplets constants $(x, \dots, x)$ avec $x^p = e$ ; comme $(e, \dots, e)$ en est un, il y a un $x \neq e$ tel que $x^p = e$ : son ordre divise $p$ sans valoir $1$, il vaut $p$ (Groupes cycliques, (i)).