ChapitreAlgèbre commutative

Modules de type fini sur un anneau principal ⋆

Sur un anneau principal, les modules de type fini se décrivent entièrement, comme les espaces vectoriels de dimension finie sur un corps. Le chapitre définit les modules libres et leur rang, montre que les sous-modules d'un module libre sont libres, puis réduit toute matrice, par opérations élémentaires et matrices de Bézout, à sa forme normale de Smith. Il en déduit le théorème de la base adaptée et le théorème de structure : tout module de type fini est isomorphe à $A^r \oplus A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_k)$ avec $d_1 \mid \cdots \mid d_k$, de façon unique.

Deux applications en découlent. Pour l'anneau $\mathbb Z$, on obtient la structure des groupes abéliens de type fini. Pour l'anneau $K[X]$, un endomorphisme d'un espace de dimension finie fait de l'espace un module de torsion : ses facteurs invariants donnent la forme de Frobenius, par blocs compagnons, et un critère de similitude valable sur tout corps, d'où il suit que deux matrices semblables sur une extension le sont déjà sur le corps de base.