Matrices équivalentes, opérations élémentaires

(i) La relation est réflexive, avec $P = I_m$ et $Q = I_n$ ; symétrique, puisque $M = P^{-1}NQ^{-1}$ ; transitive, puisque le produit de deux matrices inversibles l'est, d'inverse le produit des inverses dans l'ordre contraire.

Le coefficient $(k, l)$ de $EM$ est $\sum_s e_{ks}m_{sl}$. Pour $E = I_m + cE_{ij}$, il vaut $m_{kl}$ si $k \neq i$, et $m_{il} + cm_{jl}$ si $k = i$. Les autres effets se lisent de même, et ceux de la multiplication à droite par le calcul symétrique, sur les colonnes.

Les inverses sont $I_m - cE_{ij}$, puisque $E_{ij}E_{ij} = 0$ pour $i \neq j$ ; la permutation elle-même ; la dilatation par $u^{-1}$ ; et la matrice de Bézout de bloc $\begin{pmatrix} \delta & -\beta \\ -\gamma & \alpha \end{pmatrix}$, puisque le produit de deux matrices de cette forme a pour bloc le produit des blocs, et que $$\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \delta & -\beta \\ -\gamma & \alpha \end{pmatrix} = (\alpha\delta - \beta\gamma)\,I_2,$$ et de même dans l'autre ordre.

(ii) Les coefficients de $PMQ$ sont des sommes de produits $p_{ik}m_{kl}q_{lj}$ : ils appartiennent à l'idéal engendré par les coefficients de $M$. L'inclusion inverse vient de $M = P^{-1}(PMQ)Q^{-1}$.

(iii) L'idéal $aA + bA$ s'écrit $dA$, et $d \neq 0$ puisque $a$ ou $b$ est non nul. Écrivons $d = ua + vb$, $a = da'$ et $b = db'$. Alors $d = d(ua' + vb')$, et l'intégrité donne $ua' + vb' = 1$. La matrice $$B = \begin{pmatrix} u & -b' \\ v & a' \end{pmatrix}$$ vérifie $ua' - (-b')v = 1$, et $(a, b)B = (ua + vb,\ -ab' + ba') = (d, -da'b' + db'a') = (d, 0)$. La seconde égalité est la transposée de la première.

(iv) L'idéal nul est $0A$. Soit $I$ un idéal non nul, et $b \in I$ non nul de stathme minimal (Bon ordre sur ℕ). Pour $a \in I$, écrivons $a = bq + r$ ; alors $r = a - bq \in I$, et la minimalité impose $r = 0$ : $I = bA$.

Pour la seconde assertion, montrons par récurrence forte sur $\nu(b)$, pour $b \neq 0$, qu'un produit $B$ de transvections et de permutations envoie la colonne $(a, b)$ sur une colonne $(d, 0)$ ; le cas $b = 0$ est clair, avec $B = I_2$.

Écrivons $a = bq + r$. La transvection qui retranche à la première ligne $q$ fois la seconde donne $(r, b)$, puis la permutation donne $(b, r)$. Si $r = 0$, c'est fini ; sinon $\nu(r) < \nu(b)$, et l'hypothèse de récurrence s'applique à $(b, r)$.

Par (ii), appliqué à la colonne $(a, b)$, l'idéal $dA$ est bien $aA + bA$. Pour les lignes, on transpose : la transposée d'une transvection ou d'une permutation en est une.

(v) Comme $x \mapsto Qx$ est une bijection de $A^n$ (Modules libres, (ii)), $N(A^n) = PM(A^n)$. L'application $x \mapsto Px$ est un automorphisme de $A^m$ qui envoie $M(A^n)$ sur $N(A^n)$.

Sa composée avec la surjection canonique de $A^m$ sur $A^m/N(A^n)$ est linéaire, surjective, de noyau l'image réciproque de $N(A^n)$, qui est $M(A^n)$. Le théorème d'isomorphisme, comme au nœud Modules libres, (i), conclut.

(vi) Si $N = PMQ$, alors $N(K^n) = P\big(M(Q(K^n))\big) = P\big(M(K^n)\big)$, puisque $x \mapsto Qx$ est une bijection de $K^n$, $Q$ étant inversible : l'espace des colonnes de $N$ est l'image de celui de $M$ par l'isomorphisme $x \mapsto Px$ de $K^m$ (Matrices, (iv)) : une base de l'un est envoyée sur une base de l'autre, et les deux rangs sont égaux.

Réciproquement, soit $u : K^n \to K^m$, $x \mapsto Mx$, de rang $r$. Par le théorème du rang (Théorème du rang), son noyau est de dimension $n - r$ ; on en prend une base $(e_{r+1}, \dots, e_n)$, que l'on complète en une base $\mathcal B' = (e_1, \dots, e_n)$ de $K^n$ (Dimension, (iii)). Les vecteurs $u(e_1), \dots, u(e_r)$ engendrent $\operatorname{Im} u$, puisque $u(e_j) = 0$ pour $j > r$ ; ils sont au nombre de $r = \dim \operatorname{Im} u$, et forment donc une base de $\operatorname{Im} u$ (Dimension, (ii)) ; on la complète en une base $\mathcal C'$ de $K^m$. La matrice de $u$ dans les bases $\mathcal B'$ et $\mathcal C'$ est $J_r$, puisque $u(e_j)$ est le $j$-ième vecteur de $\mathcal C'$ pour $j \leqslant r$ et que $u(e_j) = 0$ pour $j > r$. Si $S$ et $R$ sont les matrices de passage des bases canoniques de $K^n$ et de $K^m$ à $\mathcal B'$ et à $\mathcal C'$, le point (ii) du nœud Matrices donne $J_r = R^{-1}MS$, avec $R$ et $S$ inversibles par le point (iv) du même nœud. Deux matrices de rang $r$ sont ainsi équivalentes à $J_r$, donc entre elles, par (i). Tous les choix faits sont en nombre fini.