Proposition 1Modules sur un anneau principal

Modules libres, rang, torsion

Dans ce chapitre, les anneaux sont commutatifs, et $M$ désigne un A-module (Module).

Une famille finie $(x_1, \dots, x_n)$ d'éléments de $M$ est génératrice si tout élément de $M$ s'écrit $\sum_i a_ix_i$ avec des $a_i \in A$ . Elle est libre si $\sum_i a_ix_i = 0$ entraîne que tous les $a_i$ sont nuls, et c'est une base si elle est libre et génératrice.

Le module $M$ est de type fini s'il a une famille génératrice finie, et libre s'il a une base finie ; la famille vide est une base du module nul. Dans ce chapitre, « libre » s'entend toujours avec une base finie.

Pour $n \in {\mathbb N}$ , $A^n$ est l'ensemble des colonnes $(a_1, \dots, a_n)$ d'éléments de $A$ , muni des lois composante par composante. C'est un module libre, de base canonique $(e_1, \dots, e_n)$ , où $e_j$ a pour seule composante non nulle un $1$ en place $j$ . Plus généralement, la somme directe $M_1 \oplus \cdots \oplus M_s$ de modules est leur produit cartésien, muni des lois composante par composante.

Les matrices à coefficients dans $A$ , leur ensemble ${\mathcal M_{m,n}}(A)$ et leur produit se définissent par les mêmes formules que sur un corps (Matrices). Une matrice $P \in \mathcal M_n(A)$ est inversible s'il existe $Q \in \mathcal M_n(A)$ telle que $PQ = QP = {I_n}$ ; ces matrices forment, pour le produit, le groupe linéaire $GL_n(A)$ , par le même argument que sur un corps (Matrices, (iv)), le produit étant associatif (point (ii)).

Si $A$ est intègre, un élément $x$ de $M$ est de torsion s'il existe $a \neq 0$ tel que $ax = 0$ . On note $T(M)$ l'ensemble de ces éléments, le sous-module de torsion de $M$ , et $M$ est sans torsion si $T(M) = \{0\}$ .

Énoncé

(i) Une famille $(x_1, \dots, x_n)$ de $M$ est une base si et seulement si l'application $\varphi : A^n \to M$ , $a \mapsto \sum_i a_ix_i$ , est bijective ; c'est alors un isomorphisme de modules. Le module $M$ est de type fini si et seulement s'il existe une application A-linéaire surjective $\varphi : A^n \to M$ , et alors $M \cong A^n/\operatorname{Ker}\varphi$ .

(ii) Les applications $A$ -linéaires de $A^n$ dans $A^m$ sont les $x \mapsto Px$ , pour une unique $P \in \mathcal M_{m,n}(A)$ , dont la $j$ -ième colonne est l'image de $e_j$ . La composée correspond au produit, le produit est associatif, et $x \mapsto Px$ est un isomorphisme de $A^n$ sur lui-même si et seulement si $P \in GL_n(A)$ .

(iii) Si $A$ est intègre, deux bases d'un module libre ont le même nombre d'éléments, le rang du module. En particulier, $A^m \cong A^n$ entraîne $m = n$ .

(iv) Si $A$ est intègre, $T(M)$ est un sous-module de $M$ , le quotient $M/T(M)$ est sans torsion, et tout module libre est sans torsion.

(v) Si $N_1, \dots, N_s$ sont des sous-modules de $M$ tels que tout élément de $M$ s'écrive de façon unique $y_1 + \cdots + y_s$ avec $y_i \in N_i$ , l'application $(y_1, \dots, y_s) \mapsto y_1 + \cdots + y_s$ est un isomorphisme de $N_1 \oplus \cdots \oplus N_s$ sur $M$ . On dit alors que $M$ est somme directe des $N_i$ .

Démonstration

(i) L'application $\varphi$ est $A$ -linéaire, par les axiomes de module. Elle est surjective si et seulement si la famille est génératrice. Comme $\varphi(a) = \varphi(b)$ équivaut à $\varphi(a - b) = 0$ , elle est injective si et seulement si la seule combinaison nulle est la combinaison triviale, c'est-à-dire si la famille est libre.

La réciproque d'une application $A$ -linéaire bijective $f$ est $A$ -linéaire : $f(f^{-1}(x) + f^{-1}(y)) = x + y$ et $f(af^{-1}(x)) = ax$ , et l'on applique $f^{-1}$ .

Si $M$ est engendré par $x_1, \dots, x_n$ , l'application $\varphi$ associée est surjective ; réciproquement, si $\varphi : A^n \to M$ est linéaire et surjective, les $\varphi(e_j)$ engendrent $M$ .

Le noyau de $\varphi$ est un sous-module. Le théorème d'isomorphisme des groupes (Théorème d'isomorphisme) fournit un isomorphisme de groupes $\bar\varphi : A^n/\operatorname{Ker}\varphi \to M$ , avec $\bar\varphi(a + \operatorname{Ker}\varphi) = \varphi(a)$ ; il est $A$ -linéaire, puisque $\bar\varphi(ca + \operatorname{Ker}\varphi) = \varphi(ca) = c\varphi(a)$ .

(ii) Pour $x = \sum_j x_je_j$ , la linéarité donne $f(x) = \sum_j x_jf(e_j)$ , qui est $Px$ lorsque la $j$ -ième colonne de $P$ est $f(e_j)$ ; et $P$ est déterminée par $f$ , puisque $Pe_j$ est sa $j$ -ième colonne.

Le calcul du nœud Matrices, (ii), n'emploie que les règles de calcul d'un anneau commutatif : il montre que $x \mapsto P(Qx)$ a pour matrice $PQ$ . La composition des applications étant associative, l'unicité de la matrice donne l'associativité du produit.

Si $x \mapsto Px$ est bijective, sa réciproque est linéaire, comme en (i), de matrice $Q$ ; les deux composées sont l'identité, de matrice $I_n$ , d'où $PQ = QP = I_n$ . Réciproquement, si $PQ = QP = I_n$ , l'application $x \mapsto Qx$ est la réciproque de $x \mapsto Px$ .

(iii) Soient $(x_1, \dots, x_m)$ et $(y_1, \dots, y_n)$ deux bases de $M$ , et $\varphi : A^m \to M$ , $\psi : A^n \to M$ les isomorphismes de (i). L'isomorphisme $\psi^{-1} \circ \varphi$ de $A^m$ sur $A^n$ a une matrice $P \in \mathcal M_{n,m}(A)$ , sa réciproque une matrice $Q \in \mathcal M_{m,n}(A)$ , et (ii) donne $QP = I_m$ et $PQ = I_n$ .

Soit $K$ le corps des fractions de $A$ (Corps des fractions), où l'on identifie $a$ à $a/1$ . Ce plongement respecte les sommes et les produits : les égalités $QP = I_m$ et $PQ = I_n$ valent encore entre matrices à coefficients dans $K$ .

L'application $x \mapsto Px$ de $K^m$ dans $K^n$ est donc linéaire et bijective, et le théorème du rang (Théorème du rang) donne $m = 0 + n$ .

(iv) Si $ax = 0$ et $by = 0$ avec $a, b$ non nuls, alors $ab(x - y) = 0$ et $a(cx) = c(ax) = 0$ , avec $ab \neq 0$ par intégrité : $T(M)$ est un sous-module.

Si $a \neq 0$ et $a(x + T(M)) = T(M)$ , alors $ax \in T(M)$ , et $b(ax) = 0$ pour un $b \neq 0$ ; comme $ba \neq 0$ , $x \in T(M)$ . Enfin, si $a \neq 0$ et $a(a_1, \dots, a_n) = 0$ , chaque $aa_i$ est nul, donc chaque $a_i$ : $A^n$ est sans torsion, et tout module libre aussi, par (i).

(v) L'application est $A$ -linéaire. Elle est surjective, puisque tout élément est une telle somme, et son noyau est nul, puisque $0 = 0 + \cdots + 0$ est la seule écriture de $0$ .

□

Remarque

L'erreur la plus répandue est de transposer l'algèbre linéaire, où toute famille libre se complète en une base et toute famille génératrice en contient une (Dimension). Dans ${\mathbb Z}$ , la famille $(2)$ est libre, mais aucune base de $\mathbb Z$ ne la contient : une base a un seul élément, par (iii), et $2$ n'engendre pas $1$ .

La famille $(2, 3)$ engendre $\mathbb Z$ , puisque $1 = 3 - 2$ , et pourtant aucune de ses sous-familles n'est une base : $(2)$ et $(3)$ n'engendrent que $2\mathbb Z$ et $3\mathbb Z$ , et $(2, 3)$ n'est pas libre, puisque $3 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 0$ .

Remarque

Un module de type fini n'est pas libre en général. Le $\mathbb Z$ -module ${\mathbb Z/2\mathbb Z}$ est engendré par $\bar 1$ , mais tous ses éléments sont de torsion, puisque $2x = 0$ ; par (iv), il n'est pas libre, n'étant pas nul.

Un sous-module d'un module de type fini n'est pas non plus toujours de type fini. L'anneau $A$ de la remarque du nœud Anneaux noethériens, formé des polynômes $P$ à coefficients dans le corps des fractions de $\mathbb Z$ tels que $P(0) \in \mathbb Z$ , est engendré par $1$ comme module sur lui-même. La réunion de la suite croissante, non stationnaire, des idéaux $\frac X{2^n}A$ est un sous-module qui n'est pas de type fini, sans quoi ses générateurs seraient tous dans l'un de ces idéaux, et la suite serait stationnaire. Le nœud suivant montre que rien de tel n'arrive sur un anneau principal.

Remarque

Le corps des fractions ramène la question du rang à l'algèbre linéaire, ce qui n'est possible que pour un anneau intègre. Sur un anneau commutatif non nul quelconque, le rang d'un module libre est encore bien défini, et cela sans aucune forme du choix ; on ne le démontre pas ici. Le passage au quotient par un idéal maximal, souvent proposé, demanderait en revanche le lemme de Zorn pour obtenir cet idéal (géométrie algébrique) : ce n'est pas la bonne voie.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Sous-modules d'un module libre sur un anneau principal Matrices équivalentes, opérations élémentaires Le K[X]-module associé à un endomorphisme