Sous-modules d'un module libre sur un anneau principal

(i) Par récurrence sur $n$. Si $n = 0$, $L = \{0\}$ a pour base la famille vide.

Soit $n \geqslant 1$, et $\pi : A^n \to A$ la dernière coordonnée, qui est A-linéaire. L'image $\pi(L)$ est un idéal de $A$, donc s'écrit $aA$. Le sous-module $L' = L \cap \operatorname{Ker}\pi$ est formé d'éléments dont la dernière coordonnée est nulle ; il s'identifie à un sous-module de $A^{n-1}$, et l'hypothèse de récurrence lui donne une base $(y_1, \dots, y_k)$ avec $k \leqslant n - 1$.

Si $a = 0$, alors $L = L'$, et c'est fini. Sinon, soit $x \in L$ tel que $\pi(x) = a$. Montrons que $(y_1, \dots, y_k, x)$ est une base de $L$, ce qui donne un rang $k + 1 \leqslant n$.

Elle engendre $L$ : pour $z \in L$, écrivons $\pi(z) = ca$ ; alors $z - cx$ appartient à $L$ et à $\operatorname{Ker}\pi$, donc à $L'$, et s'écrit $\sum_i b_iy_i$.

Elle est libre : si $\sum_i b_iy_i + bx = 0$, l'application de $\pi$ donne $ba = 0$, donc $b = 0$ puisque $a \neq 0$ et que $A$ est intègre ; il reste $\sum_i b_iy_i = 0$, et les $b_i$ sont nuls.

(ii) Soit $\varphi : A^n \to M$ linéaire et surjective (Modules libres, (i)), et $N$ un sous-module de $M$. L'image réciproque $L = \varphi^{-1}(N)$ est un sous-module de $A^n$, de base $(z_1, \dots, z_k)$ avec $k \leqslant n$ par (i). Comme $\varphi(L) = N$, les $\varphi(z_j)$ engendrent $N$.

(iii) Soit $M$ engendré par $x_1, \dots, x_n$, et sans torsion. Parmi les parties $J$ de $\{1, \dots, n\}$ telles que la famille $(x_j)_{j \in J}$ soit libre, qui sont en nombre fini et comprennent la partie vide, prenons-en une de cardinal maximal, et notons $F$ le sous-module, libre, engendré par les $x_j$, $j \in J$.

Pour $i \notin J$, la famille $(x_j)_{j \in J \cup \{i\}}$ est liée : il existe une relation $b_ix_i + \sum_{j \in J} c_jx_j = 0$ à coefficients non tous nuls, et $b_i \neq 0$, puisque la famille indexée par $J$ est libre. Ainsi $b_ix_i \in F$ ; pour $i \in J$, on pose $b_i = 1$.

Le produit $c = b_1 \cdots b_n$ est non nul, et $cx_i \in F$ pour tout $i$, donc $cM \subset F$. L'application $x \mapsto cx$ de $M$ dans $F$ est linéaire, et injective puisque $M$ est sans torsion : $M$ est isomorphe au sous-module $cM$ de $F \cong A^{|J|}$, qui est libre par (i).