Théorème 3Modules sur un anneau principal

Théorème de la base adaptée

Énoncé

Soit $A$ un anneau principal et $L$ un sous-module de $A^n$ . Il existe une base $(f_1, \dots, f_n)$ de $A^n$ , un entier $k \leqslant n$ et des éléments non nuls $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_k$ de $A$ tels que $(d_1f_1, \dots, d_kf_k)$ soit une base de $L$ . On dit que $(f_1, \dots, f_n)$ est une base adaptée à $L$ . Aucune forme du choix n'intervient.

Démonstration

Par Sous-modules de Aⁿ, (i), $L$ a une base $(y_1, \dots, y_k)$ avec $k \leqslant n$ . Soit $M \in \mathcal M_{n,k}(A)$ la matrice de colonnes $y_1, \dots, y_k$ : l'application $x \mapsto Mx$ envoie la base canonique de $A^k$ sur celle de $L$ , et c'est donc un isomorphisme de $A^k$ sur $L$ (Modules libres, (i)).

Par Forme de Smith, il existe $P \in {GL_n}(A)$ et $Q \in GL_k(A)$ telles que $D = PMQ$ soit en forme de Smith, de coefficients diagonaux $d_1 \mid \cdots \mid d_k$ ; on a $De_i = d_ie_i$ pour $i \leqslant k$ .

L'application $x \mapsto Dx$ est injective, comme composée des applications injectives $x \mapsto Qx$ , $x \mapsto Mx$ et $x \mapsto Px$ ; donc $d_ie_i = De_i \neq 0$ , et $d_i \neq 0$ .

Posons $f_i = P^{-1}e_i$ . Comme $x \mapsto P^{-1}x$ est un automorphisme de $A^n$ , $(f_1, \dots, f_n)$ est une base de $A^n$ (Modules libres, (i) et (ii)).

Enfin $M = P^{-1}DQ^{-1}$ , et $x \mapsto Q^{-1}x$ est une bijection de $A^k$ , d'où $L = M(A^k) = P^{-1}D(A^k).$ L'application $x \mapsto P^{-1}Dx$ est injective, et envoie $e_i$ sur $d_iP^{-1}e_i = d_if_i$ : la famille $(d_1f_1, \dots, d_kf_k)$ engendre $L$ et est libre.

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Remarque

Pour le sous-module $L$ de $\mathbb Z^2$ engendré par $y_1 = (6, 5)$ et $y_2 = (10, 9)$ , déjà rencontré au nœud Sous-modules de Aⁿ, la matrice $\begin{pmatrix} 6 & 10 \\ 5 & 9 \end{pmatrix}$ a pour forme de Smith $\operatorname{diag}(1, 4)$ .

Une base adaptée est $f_1 = (2, 1)$ , $f_2 = (1, 1)$ : la matrice $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ de ses colonnes a pour inverse $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ , à coefficients entiers. On a $y_1 = f_1 + 4f_2$ et $y_2 = f_1 + 2 \cdot 4f_2$ , et la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ , d'inverse $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ , fait passer de $(f_1, 4f_2)$ à $(y_1, y_2)$ . Ainsi $L = \mathbb Zf_1 \oplus 4\mathbb Zf_2$ , et $\mathbb Z^2/L \cong \mathbb Z/4\mathbb Z$ .

En gris les points de

\mathbb Z^2

, en rouge ceux de

L

; les générateurs donnés

y_1

y_2

sont cerclés de gris. La base adaptée

f_1 = (2, 1)

f_2 = (1, 1)

est en bleu, et

L

a pour base

f_1

4f_2 = (4, 4)

. Le parallélogramme construit sur

f_1

4f_2

, les deux côtés issus de l'origine compris et les deux autres exclus, contient exactement quatre points de

\mathbb Z^2

, les points

0

f_2

2f_2

3f_2

, les trois derniers cerclés de bleu : ils représentent les quatre classes de

\mathbb Z^2/L

, cyclique d'ordre

d_1d_2 = 4

engendré par la classe de

f_2

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire qu'on peut compléter une base de $L$ en une base de $A^n$ , comme pour un sous-espace vectoriel. Le sous-module $2\mathbb Z$ de $\mathbb Z$ a pour base $(2)$ , qui ne se complète pas. Le théorème fait l'inverse : il choisit d'abord la base de $A^n$ , puis prend des multiples de ses vecteurs.

Remarque

Les idéaux $d_iA$ ne dépendent que de $L$ : le quotient $A^n/L$ est isomorphe à $A^{n-k} \oplus A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_k)$ , comme le montrera le nœud suivant, et le nœud Unicité établira que ces données sont déterminées par la classe d'isomorphisme du quotient.

Repose sur

Forme normale de Smith Sous-modules d'un module libre sur un anneau principal

Sert à

Structure des modules de type fini sur un anneau principal