Forme normale de Smith

Notons $\mathcal G_m$ l'ensemble ${GL_m}(A)$ pour (i), et l'ensemble des produits de matrices élémentaires de taille $m$ pour (ii). C'est un groupe pour le produit, puisque l'inverse d'une matrice élémentaire est élémentaire (Opérations élémentaires, (i)). On dit que $N$ est accessible depuis $M$ si $N = PMQ$ avec $P \in \mathcal G_m$ et $Q \in \mathcal G_n$.

Étape 1 : un bon pivot. Supposons $M \neq 0$. Montrons qu'il existe $N$ accessible depuis $M$, avec $a = N_{11} \neq 0$, ayant la propriété suivante : pour toute matrice $N'$ accessible depuis $M$ dont le coefficient $(1, 1)$ est $a$, l'élément $a$ divise tous les coefficients de la première ligne et de la première colonne de $N'$.

Pour (i), soit $\delta A$ l'idéal engendré par les coefficients de $M$, avec $\delta \neq 0$. Le lemme du pivot (Lemme du pivot, (v)) fournit $N$ équivalente à $M$ avec $N_{11} = \delta$. Les coefficients de toute matrice équivalente à $M$ engendrent $\delta A$ (Opérations élémentaires, (ii)) : $\delta$ les divise tous, ce qui est plus que la propriété demandée.

Pour (ii), soit $\nu$ le stathme. L'ensemble des $\nu(c)$, pour $c$ coefficient non nul d'une matrice accessible depuis $M$, est une partie non vide de $\mathbb N$ ; il a un plus petit élément (Bon ordre sur ℕ), atteint par un coefficient d'une matrice accessible, qu'une permutation amène en place $(1, 1)$.

Soit $N'$ accessible, de coefficient $(1, 1)$ égal à $a$, et $b = N'_{1j}$. Écrivons $b = aq + r$. La transvection qui retranche à la colonne $j$ la colonne $1$ multipliée par $q$ donne une matrice accessible de coefficient $(1, j)$ égal à $r$ ; si $r$ n'était pas nul, on aurait $\nu(r) < \nu(a)$, contre la minimalité. Donc $a \mid b$, et de même pour la première colonne.

Étape 2 : le pivot divise tout. Soit $N$ comme à l'étape 1. Des transvections, qui retranchent à chaque colonne $j \geqslant 2$ un multiple de la première, puis à chaque ligne $i \geqslant 2$ un multiple de la première, donnent une matrice accessible $$N'' = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & N_1 \end{pmatrix},$$ où $N_1 \in \mathcal M_{m-1,n-1}(A)$.

Soit $c$ le coefficient de $N''$ en place $(i, j)$, avec $i, j \geqslant 2$. Ajouter la ligne $i$ à la première ligne ne change pas le coefficient $(1, 1)$, puisque la ligne $i$ commence par $0$, et place $c$ en position $(1, j)$ ; par l'étape 1, $a \mid c$. Ainsi $a$ divise tous les coefficients de $N_1$.

Étape 3 : récurrence. Montrons (i) et (ii) par récurrence sur $\min(m, n)$. Si $\min(m, n) = 0$, ou si $M = 0$, la matrice $M$ est déjà en forme de Smith. Sinon, les étapes 1 et 2 donnent $N''$ accessible depuis $M$.

Par hypothèse de récurrence, $P_1N_1Q_1 = D_1$ est en forme de Smith pour des $P_1 \in \mathcal G_{m-1}$, $Q_1 \in \mathcal G_{n-1}$. Les coefficients de $D_1$ engendrent le même idéal que ceux de $N_1$ (Opérations élémentaires, (ii)), contenu dans $aA$ : $a$ divise le premier coefficient diagonal de $D_1$.

Les matrices diagonales par blocs $\operatorname{diag}(1, P_1)$ et $\operatorname{diag}(1, Q_1)$ appartiennent à $\mathcal G$, et $$\operatorname{diag}(1, P_1)\,N''\,\operatorname{diag}(1, Q_1) = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & D_1 \end{pmatrix}$$ est en forme de Smith.

La récurrence porte sur un entier, et chaque étape ne fait qu'un nombre fini de choix : aucune forme du choix n'intervient.

(iii) Par Opérations élémentaires, (ii), l'idéal engendré par les coefficients de $M$ est celui des coefficients de $D$, c'est-à-dire $d_1A + \cdots + d_sA = d_1A$, puisque $d_1$ divise tous les $d_i$.