Unicité de la forme de Smith et des facteurs invariants

(i) La ligne $\rho$ de $PM$ est $\sum_k p_{\rho k}L_k$, où $L_k$ est la ligne $k$ de $M$. Fixons des lignes $\rho_1 < \cdots < \rho_i$ et un ensemble $J$ de $i$ colonnes, et notons $L_k^J$ la ligne $L_k$ restreinte à $J$.

Le déterminant étant multilinéaire par rapport aux lignes (Déterminant d'une matrice, (iii)), le mineur correspondant de $PM$ vaut $$\sum_{k_1, \dots, k_i} p_{\rho_1k_1} \cdots p_{\rho_ik_i}\,\det\big(L_{k_1}^J, \dots, L_{k_i}^J\big),$$ la somme portant sur les suites d'indices de lignes de $M$.

Si deux des $k_t$ sont égaux, le déterminant a deux lignes égales et il est nul (même nœud, (iii)). Sinon, ranger les $k_t$ dans l'ordre croissant change le déterminant en son produit par $\pm 1$ (Formes alternées, (i), appliqué aux lignes par transposition), et l'on obtient $\pm$ un mineur de taille $i$ de $M$.

Pour $MQ$, on passe aux transposées : ${}^t(MQ) = {}^tQ\,{}^tM$, et une matrice carrée a le même déterminant que sa transposée (même nœud, (iii)), de sorte que les mineurs de ${}^tM$ sont ceux de $M$.

Si $N = PMQ$, on en tire $\Delta_i(N) \subset \Delta_i(M)$, et l'inclusion inverse vient de $M = P^{-1}NQ^{-1}$.

(ii) Soient $I$ et $J$ deux ensembles de $i$ indices, de lignes et de colonnes. Si $I \neq J$, il existe $j \in J \setminus I$ ; la colonne d'indice $j$ de la matrice extraite ne contient que des $d_{\rho j}$ avec $\rho \neq j$, tous nuls, et le mineur est nul par linéarité en cette colonne.

Si $I = J = \{l_1 < \cdots < l_i\}$, la matrice extraite est diagonale, de déterminant $d_{l_1} \cdots d_{l_i}$ (Sous-espaces stables, (ii)). Comme $l_t \geqslant t$, $d_t$ divise $d_{l_t}$, et ce produit est multiple de $d_1 \cdots d_i$, obtenu pour $I = \{1, \dots, i\}$.

(iii) Soient $D$ et $D'$ en forme de Smith, équivalentes. Par (i) et (ii), $d_1 \cdots d_iA = d'_1 \cdots d'_iA$ pour tout $i$. Montrons par récurrence sur $i$ que $d_i$ et $d'_i$ sont associés.

Si le produit $c = d_1 \cdots d_{i-1}$ est nul, un $d_t$ antérieur est nul, donc $d_i = 0$ ; par hypothèse de récurrence, le $d'_t$ correspondant est nul aussi, et $d'_i = 0$. Sinon, l'hypothèse de récurrence donne $d'_1 \cdots d'_{i-1} = uc$ avec $u$ inversible, puis $cd_i = w\,ucd'_i$ avec $w$ inversible, et $d_i = wud'_i$ après simplification par $c$.

La seconde assertion est (i) et (ii), appliqués à $M$ et à $D$.

(iv) Notons $U = D(A^n)$, $V = D'(A^n)$, $\pi$ et $\pi'$ les surjections canoniques, et $f$ un isomorphisme de $A^n/U$ sur $A^n/V$. Pour chaque $j$, choisissons un antécédent par $\pi'$ de $f(\pi(e_j))$ : ce sont $n$ choix, et ils définissent une application linéaire $F$ de $A^n$ dans lui-même telle que $\pi' \circ F = f \circ \pi$ (Modules libres, (ii)). On construit de même $G$ avec $\pi \circ G = f^{-1} \circ \pi'$.

Alors $F(U) \subset V$, puisque $\pi'(F(x)) = f(\pi(x)) = 0$ pour $x \in U$, et de même $G(V) \subset U$. De plus $\pi(GF(x)) = f^{-1}(f(\pi(x))) = \pi(x)$, donc $(GF - I)(A^n) \subset U$ ; de même $(FG - I)(A^n) \subset V$.

Soit $\Theta$ l'application de $A^n \oplus A^n$ dans lui-même définie par $$\Theta(x, y) = \big(x - Gy,\ Fx + (I - FG)y\big).$$ C'est la composée de $(x, y) \mapsto (x - Gy, y)$ et de $(x, y) \mapsto (x, Fx + y)$, toutes deux bijectives, de réciproques $(x, y) \mapsto (x + Gy, y)$ et $(x, y) \mapsto (x, y - Fx)$ : par Modules libres, (ii), sa matrice $T$ est inversible.

Montrons que $\Theta$ envoie $U \oplus A^n$ sur $A^n \oplus V$. Pour $x \in U$, $Fx \in V$, et $(I - FG)y \in V$ : l'image est contenue dans $A^n \oplus V$. Réciproquement, pour $z \in A^n$ et $w \in V$, le couple $y = w - Fz$, $x = z + Gy = (I - GF)z + Gw$ vérifie $x \in U$ et $$\Theta(x, y) = (z,\ Fz + y) = (z, w).$$

Soient $N_1 = T{\operatorname{diag}}(D, I_n)$ et $N_2 = \operatorname{diag}(I_n, D')$. Ces matrices définissent des applications injectives de même image $A^n \oplus V$. Chaque colonne de $N_2$ s'écrit donc $N_1q_j$ pour un unique $q_j$ ; la matrice $Q$ de colonnes $q_j$ vérifie $N_2 = N_1Q$, et de même $N_1 = N_2Q'$. L'injectivité donne $QQ' = I_{2n}$ et $Q'Q = I_{2n}$, d'où $N_2 = T\operatorname{diag}(D, I_n)\,Q$.

(v) Les sous-modules de torsion se correspondent, et $A^r \cong A^{r'}$ (Théorème de structure, (iv)), d'où $r = r'$ (Modules libres, (iii)). Les parties de torsion $\bigoplus_i A/(d_i)$ et $\bigoplus_j A/(d'_j)$ sont isomorphes.

Posons $n = k + k'$, et soient $D = \operatorname{diag}(1, \dots, 1, d_1, \dots, d_k)$ et $D' = \operatorname{diag}(1, \dots, 1, d'_1, \dots, d'_{k'})$ dans $\mathcal M_n(A)$, en forme de Smith. Elles définissent des applications injectives, leurs coefficients diagonaux étant non nuls, et, par Théorème de structure, (i), où les termes $A/(1)$ sont nuls, $A^n/D(A^n)$ et $A^n/D'(A^n)$ sont isomorphes aux deux parties de torsion.

Par (iv), $\operatorname{diag}(D, I_n)$ et $\operatorname{diag}(I_n, D')$ sont équivalentes. La seconde, $\operatorname{diag}(1, \dots, 1, d'_1, \dots, d'_{k'})$, est déjà en forme de Smith. Une permutation des lignes et la même permutation des colonnes de la première, c'est-à-dire la multiplication par une matrice de permutation et par son inverse, rangent ses coefficients diagonaux en $\operatorname{diag}(1, \dots, 1, d_1, \dots, d_k)$, de taille $2n$ : on obtient deux formes de Smith équivalentes. Par (iii), elles ont autant de coefficients non inversibles, d'où $k = k'$, et $d_i$ est associé à $d'_i$.