Structure des modules de type fini sur un anneau principal

(i) L'image $D(A^n)$ est formée des colonnes $(d_1a_1, \dots, d_ta_t, 0, \dots, 0)$, $a_i \in A$. L'application de $A^m$ dans $A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_t) \oplus A^{m-t}$ qui envoie $(x_1, \dots, x_m)$ sur $(\bar x_1, \dots, \bar x_t, x_{t+1}, \dots, x_m)$ est linéaire et surjective, et son noyau est exactement $D(A^n)$. Le théorème d'isomorphisme, comme au nœud Modules libres, (i), conclut.

(ii) Par Modules libres, (i), $M \cong A^n/L$ pour un sous-module $L$ de $A^n$.

Par Base adaptée, $L$ a une base $(d_1f_1, \dots, d_tf_t)$, où $(f_1, \dots, f_n)$ est une base de $A^n$ et $d_1 \mid \cdots \mid d_t$ sont non nuls. Soit $P$ la matrice de colonnes $f_1, \dots, f_n$, inversible (Modules libres, (ii)), et $D$ la matrice de taille $n \times t$ de coefficients diagonaux $d_1, \dots, d_t$, en forme de Smith ; alors $L = PD(A^t)$.

Par Opérations élémentaires, (v), appliqué à $PD = P \cdot D \cdot {I_t}$, et par (i), $$A^n/L \cong A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_t) \oplus A^{n-t}.$$

Si $d_{i+1}$ est inversible, $d_i$, qui le divise, l'est aussi : les $d_i$ inversibles viennent en premier, et leurs termes $A/(d_i)$ sont nuls. On les supprime, ce qui laisse les $d_i$ non inversibles, et l'on place $A^{n-t}$ en tête, ce qui ne change pas le module à isomorphisme près : $r = n - t$.

(iii) Le sous-module $T(M)$ est de type fini par Sous-modules de Aⁿ, (ii). Le quotient $M/T(M)$ est engendré par les classes des générateurs de $M$, et il est sans torsion (Modules libres, (iv)) ; il est donc libre (Sous-modules de Aⁿ, (iii)), d'une base $(\bar e_1, \dots, \bar e_r)$.

Choisissons des représentants $e_1, \dots, e_r$, en nombre fini, et soit $F$ le sous-module qu'ils engendrent. Pour $x \in M$, écrivons $\bar x = \sum_i a_i\bar e_i$ : alors $x - \sum_i a_ie_i \in T(M)$, et $M = T(M) + F$.

Si $\sum_i a_ie_i \in T(M)$, alors $\sum_i a_i\bar e_i = 0$ et tous les $a_i$ sont nuls. Ceci montre à la fois que $(e_1, \dots, e_r)$ est libre, donc que $F \cong A^r$, et que $T(M) \cap F = \{0\}$, d'où l'unicité des écritures $t + f$ ; on conclut par Modules libres, (v).

(iv) Dans $N = A^r \oplus A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_k)$, un élément $(x, y)$ est de torsion si et seulement si $x = 0$. En effet, si $a(x, y) = 0$ avec $a \neq 0$, alors $ax = 0$ dans $A^r$, sans torsion, et $x = 0$ ; réciproquement, $d_k$ annule chaque $A/(d_i)$, puisque $d_i \mid d_k$, et $d_k \neq 0$.

Un isomorphisme envoie les éléments de torsion sur les éléments de torsion, d'où la première assertion, et $M/T(M) \cong N/T(N) \cong A^r$.

Enfin $d_k$ annule $T(N)$, et un élément $a$ qui l'annule annule la classe de $1$ dans $A/(d_k)$, c'est-à-dire $a \in d_kA$.