Diviseurs élémentaires ⋆

(i) Une suite canonique. Supposons que $p^v$ divise $d$ pour tout $v$, et écrivons $d = p^vc_v$ ; le quotient $c_v$ est unique, puisque $A$ est intègre et $p^v \neq 0$. De $p^{v+1}c_{v+1} = p^vc_v$, on tire $c_v = pc_{v+1}$ : la suite d'idéaux $c_0A \subset c_1A \subset \cdots$ est croissante, et elle est définie sans aucun choix.

Elle est stationnaire (Anneaux noethériens, (i) et (iii)) : $c_{N+1} = ec_N = epc_{N+1}$ pour un $N$ et un $e \in A$. Comme $c_{N+1} \neq 0$, puisque $d \neq 0$, l'intégrité donne $ep = 1$, alors que $p$ n'est pas inversible.

Il existe donc un $v$ tel que $p^v \nmid d$, et aucun $w \geqslant v$ ne convient, puisque $p^v$ divise $p^w$. Les entiers qui conviennent forment ainsi une partie finie de $\mathbb N$, qui contient $0$ et tout entier inférieur à l'un de ses éléments : c'est un ensemble $\{0, \dots, v_p(d)\}$.

Comaximalité. Si $p \nmid e$, alors $e \notin pA$ et $pA$ est maximal, donc $pA + eA = A$, et $1 = \alpha p + \beta e$. Si $1 = x_mp^m + y_me$, le produit de ces deux écritures de $1$ donne $1 = x_m\alpha\,p^{m+1} + e\,(\dots)$, et l'on conclut par récurrence sur $m$.

(ii) Pour une somme directe, $p^j(M_1 \oplus M_2) = p^jM_1 \oplus p^jM_2$, et $V_j(M_1 \oplus M_2)$ est isomorphe, comme $k_p$-espace, à $V_j(M_1) \oplus V_j(M_2)$, dont la dimension est la somme des dimensions. Il suffit de traiter $A$ et les $A/(d)$.

Pour $A$, l'application $a \mapsto p^ja + p^{j+1}A$ est surjective de $A$ sur $V_j(A)$, de noyau $pA$, après simplification par $p^j$ : $V_j(A) \cong k_p$ est de dimension $1$.

Pour $A/(d)$, soit $v = v_p(d)$ et $d = p^ve$, avec $p \nmid e$ par maximalité de $v$. L'application de $p^jA$ dans $V_j(A/(d))$ qui envoie $y$ sur la classe de $\bar y$ est surjective, de noyau $p^jA \cap (p^{j+1}A + dA)$.

Si $j < v$, alors $dA \subset p^{j+1}A$, le noyau est $p^{j+1}A$, et $V_j(A/(d)) \cong p^jA/p^{j+1}A \cong V_j(A)$ est de dimension $1$.

Si $j \geqslant v$, la comaximalité de (i) donne $p^{j+1-v}A + eA = A$, d'où, en multipliant par $p^v$, $$p^{j+1}A + dA = p^vA \supset p^jA :$$ le noyau est $p^jA$ tout entier, et $V_j(A/(d)) = \{0\}$.

(iii) Pour $l \neq m$, $p_l$ ne divise pas $p_m$ : sinon $p_m = p_lc$, et l'irréductibilité de $p_m$ rendrait $c$ inversible, $p_l$ et $p_m$ seraient associés. Comme $p_l$ est premier (Principal ⇒ factoriel, (i), et Divisibilité, (ii)), il ne divise pas non plus $p_m^{a_m}$.

La comaximalité de (i), appliquée à $p = p_l$ et $e = p_m^{a_m}$, donne $p_l^{a_l}A + p_m^{a_m}A = A$ : les idéaux $p_l^{a_l}A$ sont deux à deux comaximaux.

Leur produit est l'idéal engendré par les produits $x_1 \cdots x_s$ avec $x_l \in p_l^{a_l}A$ (Lemme chinois), c'est-à-dire $p_1^{a_1} \cdots p_s^{a_s}A = dA$. Le lemme chinois fournit l'isomorphisme d'anneaux $A/(d) \cong \prod_l A/(p_l^{a_l})$. Il est A-linéaire, puisque $a$ agit sur chaque quotient par multiplication par sa classe, et qu'un morphisme d'anneaux respecte les produits.

(iv) Existence. Par Théorème de structure, (ii), $M \cong A^r \oplus \bigoplus_i A/(d_i)$. On décompose chaque $d_i$ en irréductibles ⋆, on regroupe les facteurs associés, et l'on applique (iii).

Unicité. Fixons un irréductible $p$. Si $q$ est associé à $p$, $v_p(q^b) = b$, puisque $p^{b+1} \mid p^b$ rendrait $p$ inversible. Si $q$ n'est pas associé à $p$, $p$ ne divise pas $q^b$, comme en (iii), et $v_p(q^b) = 0$.

Par (ii), $$\dim_{k_p} V_j(M) = r + \big|\{l : q_l \sim p,\ b_l > j\}\big|,$$ où $q \sim p$ signifie « associé ». Un isomorphisme $f : M \to M'$ envoie $p^jM$ sur $p^jM'$, et induit un isomorphisme de $k_p$-espaces de $V_j(M)$ sur $V_j(M')$ : ces dimensions ne dépendent que de $M$.

L'entier $r$ est le rang de $M/T(M)$ (Théorème de structure, (iv)), qui ne dépend que de $M$. Les dimensions déterminent donc, pour chaque $j$, le nombre de $l$ tels que $q_l \sim p$ et $b_l > j$, puis, par différence, le nombre de ceux pour lesquels $b_l = j + 1$. Comme $q_l^{b_l}A = p^{b_l}A$ lorsque $q_l \sim p$, la famille des idéaux est déterminée.

(v) La décomposition de chaque $d_i$ et le point (iii) fournissent une décomposition comme en (iv), dont les termes sont les $A/(p^{v_p(d_i)})$ ; par l'unicité de (iv), ce sont les diviseurs élémentaires. La réciproque vient de ce que $v_p(d_1) \leqslant \cdots \leqslant v_p(d_k)$ pour chaque $p$, puisque $d_i \mid d_{i+1}$.