Théorème 9Modules sur un anneau principal

Similitude et facteurs invariants

Les notations sont celles du nœud Module d'un endomorphisme. Deux matrices $A, B \in {\mathcal M_n}(K)$ sont semblables s'il existe $S$ inversible telle que $B = S^{-1}AS$ (Trace, (iii)) ; les facteurs invariants de $A$ sont ceux de $x \mapsto Ax$ .

Énoncé

(i) Les conditions suivantes sont équivalentes : $A$ et $B$ sont semblables ; elles ont les mêmes facteurs invariants ; les modules $E_A$ et $E_B$ sont isomorphes ; les matrices $X{I_n} - A$ et $XI_n - B$ sont équivalentes dans $\mathcal M_n(K[X])$ .

(ii) Si $K$ est un sous-corps d'un corps $L$ , les facteurs invariants de $A$ , vue comme matrice de $\mathcal M_n(L)$ , sont ceux de $A$ sur $K$ . Deux matrices de $\mathcal M_n(K)$ semblables dans $\mathcal M_n(L)$ le sont dans $\mathcal M_n(K)$ .

Aucune forme du choix n'intervient.

Démonstration

(i) La similitude de $A$ et $B$ équivaut à $E_A \cong E_B$ par Module d'un endomorphisme, (i). L'égalité des facteurs invariants équivaut à $E_A \cong E_B$ : dans un sens par l'unicité de Forme de Frobenius, (i), et dans l'autre parce que les deux modules sont alors isomorphes à la même somme $\bigoplus_i K[X]/(P_i)$ .

Si $B = S^{-1}AS$ , alors $XI_n - B = S^{-1}(XI_n - A)S$ , et $S$ , inversible dans $\mathcal M_n(K)$ , l'est dans $\mathcal M_n(K[X])$ : les deux matrices sont équivalentes.

Si $XI_n - A$ et $XI_n - B$ sont équivalentes, les quotients de $K[X]^n$ par leurs images sont isomorphes (Opérations élémentaires, (v)), c'est-à-dire $E_A \cong E_B$ (Module d'un endomorphisme, (iii)).

(ii) Soient $P_1 \mid \cdots \mid P_k$ les facteurs invariants de $A$ sur $K$ . Par Forme de Frobenius, (ii), il existe $S$ inversible dans $\mathcal M_n(K)$ telle que $S^{-1}AS = F$ soit diagonale par blocs $C(P_1), \dots, C(P_k)$ .

Cette égalité vaut dans $\mathcal M_n(L)$ , puisque $K$ est un sous-anneau de $L$ . Les $P_i$ restent unitaires, non constants, et chacun divise le suivant dans $L[X]$ ; la matrice $C(P_i)$ ne dépend que des coefficients de $P_i$ . L'unicité de Forme de Frobenius, (ii), appliquée sur le corps $L$ , montre que les $P_i$ sont les facteurs invariants de $A$ sur $L$ .

Si $A$ et $B$ sont semblables dans $\mathcal M_n(L)$ , elles ont les mêmes facteurs invariants sur $L$ par (i), appliqué sur $L$ , donc les mêmes sur $K$ , et elles sont semblables dans $\mathcal M_n(K)$ par (i).

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Remarque

Les matrices $\operatorname{diag}(J_2, J_2)$ et $\operatorname{diag}(J_2, J_1, J_1)$ du nœud Forme de Jordan, qui ont mêmes polynômes caractéristique et minimal, ont pour facteurs invariants $(X^2, X^2)$ et $(X, X, X^2)$ : elles ne sont pas semblables, et les facteurs invariants le voient, sans aucune hypothèse sur le polynôme caractéristique.

Remarque

Lorsque $\chi_A$ est scindé, les diviseurs élémentaires de $E_A$ , au sens du nœud voisin Diviseurs élémentaires, qui ne précède pas celui-ci dans l'arbre, sont des puissances $(X - \lambda)^m$ . Dans $K[X]/((X - \lambda)^m)$ , la base $f_i = (X - \lambda)^{m-i}, \qquad 1 \leqslant i \leqslant m,$ vérifie $Xf_1 = \lambda f_1$ et $Xf_i = \lambda f_i + f_{i-1}$ pour $i \geqslant 2$ : la multiplication par $X$ y a pour matrice le bloc de Jordan $J_m(\lambda)$ .

La forme de Jordan du nœud Forme de Jordan est donc la décomposition de $E_A$ en diviseurs élémentaires, et son unicité est un cas particulier de celle des diviseurs élémentaires. On ne la redémontre pas ici : le chapitre de réduction l'a établie directement, par les noyaux itérés.

Remarque

Le point (ii) est remarquable : pour $K = \mathbb R$ et $L = \mathbb C$ , deux matrices réelles semblables sur $\mathbb C$ , ce qu'on décide souvent par la forme de Jordan complexe, sont semblables sur $\mathbb R$ . La matrice de passage complexe n'est pas réelle en général ; c'est l'invariance des facteurs invariants, calculés par l'algorithme d'Euclide dans $K[X]$ , qui fait le travail.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de confondre équivalence et similitude. Sur un corps, deux matrices de même taille sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang (Opérations élémentaires, (vi)), ce qui est bien plus grossier. Le point (i) remplace la similitude sur $K$ par l'équivalence sur l'anneau $K[X]$ , que la forme de Smith sait décider.

Repose sur

Facteurs invariants d'un endomorphisme, forme de Frobenius

Sert à

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