Proposition 3Modules sur un anneau principal

Le K[X]-module associé à un endomorphisme

Dans ce nœud et les suivants, $K$ est un corps, $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie $n \geqslant 1$ , et $u \in {\mathcal L}(E)$ ; l'anneau est ${K[X]}$ , et les lettres $A$ , $B$ désignent des matrices de ${\mathcal M_n}(K)$ .

On note $E_u$ l'ensemble $E$ muni de la loi $P \cdot x = P(u)(x)$ , pour $P \in K[X]$ (Polynômes d'endomorphismes). Pour une matrice $A$ , on note $E_A$ le module obtenu sur $K^n$ avec $x \mapsto Ax$ .

Pour un polynôme unitaire $P = X^d + c_{d-1}X^{d-1} + \cdots + c_0$ de degré $d \geqslant 1$ , la matrice compagnon $C(P) \in \mathcal M_d(K)$ a des coefficients $1$ en places $(i + 1, i)$ pour $1 \leqslant i < d$ , la dernière colonne $(-c_0, \dots, -c_{d-1})$ , et des $0$ ailleurs : $C(P) = \begin{pmatrix} 0 & & & -c_0 \\ 1 & \ddots & & -c_1 \\ & \ddots & 0 & \vdots \\ & & 1 & -c_{d-1} \end{pmatrix}.$

Énoncé

(i) $E_u$ est un $K[X]$ -module de type fini, annulé par le polynôme minimal $\mu_u$ . Ses sous-modules sont les sous-espaces stables par $u$ . Pour un autre espace $E'$ et $u' \in \mathcal L(E')$ , les applications K[X]-linéaires de $E_u$ dans $E'_{u'}$ sont les applications $K$ -linéaires $f$ telles que $f \circ u = u' \circ f$ . En particulier, $E_A \cong E_B$ si et seulement si $A$ et $B$ sont semblables.

(ii) Pour $P$ unitaire de degré $d \geqslant 1$ , le module $K[X]/(P)$ a pour base sur $K$ les classes de $1, X, \dots, X^{d-1}$ , et la multiplication par $X$ y a pour matrice $C(P)$ . Le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de $C(P)$ sont égaux à $P$ .

(iii) Soit $(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n)$ la base canonique de $K^n$ . L'application $\begin{aligned} \Phi : K[X]^n &\to E_A, \\ (P_1, \dots, P_n) &\mapsto \textstyle\sum_j P_j(A)\,\varepsilon_j \end{aligned}$ est $K[X]$ -linéaire et surjective, et son noyau est l'image de la matrice $X{I_n} - A \in \mathcal M_n(K[X])$ . Ainsi $E_A \cong K[X]^n/(XI_n - A)(K[X]^n)$ .

Démonstration

(i) L'application $P \mapsto P(u)$ est un morphisme d'anneaux (Polynômes d'endomorphismes, (i)) : $(PQ) \cdot x = P(u)(Q(u)(x))$ , $(P + Q) \cdot x = P \cdot x + Q \cdot x$ , $1 \cdot x = x$ , et $P \cdot (x + y) = P \cdot x + P \cdot y$ par linéarité de $P(u)$ . Les constantes agissent comme les scalaires : une base de $E$ engendre $E_u$ , et $\mu_u \cdot x = 0$ pour tout $x$ .

Un sous-module est un sous-espace, stable par $X \cdot$ , c'est-à-dire par $u$ ; réciproquement, un sous-espace stable par $u$ l'est par les $u^k$ , donc par les $P(u)$ .

Une application $K[X]$ -linéaire est $K$ -linéaire et vérifie $f(u(x)) = f(X \cdot x) = X \cdot f(x) = u'(f(x))$ . Réciproquement, si $f \circ u = u' \circ f$ , alors $f \circ u^k = u'^k \circ f$ par récurrence, puis $f \circ P(u) = P(u') \circ f$ par linéarité.

Un isomorphisme $E_A \to E_B$ est donc $x \mapsto Sx$ avec $S$ inversible et $SA = BS$ , c'est-à-dire $B = SAS^{-1}$ .

(ii) La division par $P$ (Division des polynômes, (ii)) donne, dans chaque classe, un unique représentant de degré $< d$ : les classes de $1, X, \dots, X^{d-1}$ forment une base. La multiplication par $X$ envoie $\bar X^i$ sur $\bar X^{i+1}$ pour $i < d - 1$ , et $\bar X^{d-1}$ sur $\bar X^d = -c_0 - c_1\bar X - \cdots - c_{d-1}\bar X^{d-1},$ d'où la matrice $C(P)$ .

Si $m$ désigne la multiplication par $X$ , on a $Q(m)(\bar 1) = \bar Q$ ; donc $Q(m) = 0$ si et seulement si $P \mid Q$ , et le polynôme minimal de $m$ , c'est-à-dire de $C(P)$ , est $P$ (Polynômes d'endomorphismes, (iii) et (v)).

Le polynôme caractéristique est unitaire de degré $d$ (Polynôme caractéristique, (ii)) et multiple de $P$ (Cayley-Hamilton, (ii)), unitaire de même degré : il lui est égal.

(iii) La linéarité vient de $\Phi(Q \cdot (P_j)_j) = \sum_j Q(A)P_j(A)\varepsilon_j = Q(A)\Phi((P_j)_j)$ , et $\Phi$ est surjective, puisqu'elle envoie un vecteur constant $c$ sur $c$ .

La $j$ -ième colonne de $XI_n - A$ est $X\varepsilon_j - \sum_i a_{ij}\varepsilon_i$ , d'image $A\varepsilon_j - \sum_i a_{ij}\varepsilon_i = 0$ : l'image $R$ de $XI_n - A$ est contenue dans le noyau.

Réciproquement, $X\varepsilon_j \equiv \sum_i a_{ij}\varepsilon_i$ modulo $R$ , c'est-à-dire $X \cdot c \equiv Ac$ pour tout vecteur constant $c$ ; par récurrence, $X^k \cdot c \equiv A^kc$ , puis $P \cdot c \equiv P(A)c$ . Tout élément $\sum_j P_j\varepsilon_j$ est donc congru au vecteur constant $\sum_j P_j(A)\varepsilon_j$ , qui est son image par $\Phi$ . S'il est dans le noyau, il est congru à $0$ , c'est-à-dire qu'il appartient à $R$ .

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Remarque

Pour la rotation $J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , on a $J^2 = -I_2$ : $J$ est la matrice compagnon de $X^2 + 1$ , et $E_J \cong K[X]/(X^2 + 1)$ . Le vecteur $\varepsilon_1$ et son image $J\varepsilon_1 = \varepsilon_2$ forment la base de (ii).

À l'opposé, pour $u = \lambda\,\mathrm{id}_E$ , chaque droite est un sous-module, et $E_u \cong (K[X]/(X - \lambda))^n$ .

Remarque

Le module $E_u$ est de type fini sans être libre : il est de torsion, puisque $\mu_u$ l'annule, alors qu'un $K[X]$ -module libre non nul est sans torsion (Modules libres, (iv)). Les nœuds précédents sur les modules de torsion s'appliquent donc pleinement, avec $r = 0$ .

Remarque

Ce point de vue était annoncé au nœud Lemme des noyaux : les sous-espaces stables sont les sous-modules, et la décomposition en noyaux est la décomposition de $E_u$ selon le lemme chinois.

Repose sur

Modules libres, rang, torsion Réduction des endomorphismes

Sert à

Facteurs invariants d'un endomorphisme, forme de Frobenius