Théorème 2Réduction des endomorphismes

Lemme des noyaux

Énoncé

Soient $P_1, \dots, P_k \in {K[X]}$ deux à deux premiers entre eux, avec $k \geqslant 1$ , et $P = P_1 \cdots P_k$ .

(i) On a $\begin{aligned} \operatorname{Ker} P(u) &= \operatorname{Ker} P_1(u) \\ &\quad \oplus \cdots \oplus \operatorname{Ker} P_k(u). \end{aligned}$

(ii) Il existe des polynômes $Q_1, \dots, Q_k$ , qui ne dépendent que des $P_i$ et non de $u$ , tels que, pour tout $x = x_1 + \cdots + x_k$ de $\operatorname{Ker} P(u)$ avec $x_i \in \operatorname{Ker} P_i(u)$ , on ait $x_i = Q_i(u)(x)$ .

(iii) Si $P$ annule $u$ , alors $E = \bigoplus_i \operatorname{Ker} P_i(u)$ , et les projecteurs $p_i = Q_i(u)$ associés à cette décomposition sont des polynômes en $u$ : $p_1 + \cdots + p_k = \mathrm{id}_E$ , $p_i^2 = p_i$ et $p_i \circ p_j = 0$ pour $i \neq j$ .

Démonstration

Les polynômes $Q_i$ . Pour $i \neq j$ , la relation de Bézout $U P_i + V P_j = 1$ (K[X] principal, (ii)) dit que les idéaux $(P_i)$ et $(P_j)$ sont comaximaux.

Le lemme chinois (Lemme chinois) s'applique : la flèche $K[X] \to \prod_i K[X]/(P_i)$ est surjective, de noyau $(P_1) \cap \cdots \cap (P_k) = (P_1) \cdots (P_k) = (P),$ le produit des idéaux principaux $(P_i)$ étant l'idéal engendré par les produits $a_1P_1 \cdots a_kP_k$ , c'est-à-dire $(P)$ .

Soit $Q_i$ un antécédent de l'élément dont la composante d'indice $i$ vaut $1$ et les autres $0$ : $Q_i - 1 \in (P_i)$ et $Q_i \in (P_j)$ pour $j \neq i$ .

Le polynôme $P_iQ_i$ appartient à chaque $(P_j)$ , donc à $(P)$ . Le polynôme $Q_1 + \cdots + Q_k - 1$ aussi : pour chaque $j$ , il s'écrit $(Q_j - 1) + \sum_{i \neq j} Q_i$ , somme d'éléments de $(P_j)$ .

Décomposition. Chaque $\operatorname{Ker} P_i(u)$ est contenu dans $\operatorname{Ker} P(u)$ , puisque $P(u) = \big(\prod_{j \neq i} P_j\big)(u) \circ P_i(u)$ par Polynômes d'endomorphismes, (i).

Soit $x \in \operatorname{Ker} P(u)$ . Si $R$ est un multiple de $P$ , $R = SP$ , alors $R(u)(x) = S(u)(P(u)(x)) = 0$ . Appliqué à $R = \sum_i Q_i - 1$ , ceci donne $x = \sum_i Q_i(u)(x)$ ; appliqué à $R = P_iQ_i$ , il montre que $Q_i(u)(x)$ appartient à $\operatorname{Ker} P_i(u)$ . La somme des noyaux est donc $\operatorname{Ker} P(u)$ .

La somme est directe. Soient $x_i \in \operatorname{Ker} P_i(u)$ avec $\sum_i x_i = 0$ , et $j$ fixé. Pour $i \neq j$ , $P_i$ divise $Q_j$ , donc $Q_j(u)(x_i) = 0$ ; et $Q_j - 1$ est multiple de $P_j$ , donc $Q_j(u)(x_j) = x_j$ . En appliquant $Q_j(u)$ à la relation, il vient $x_j = 0$ .

Le même calcul, appliqué à $x = \sum_i x_i$ , donne $Q_j(u)(x) = x_j$ : c'est (ii), et (i) est démontré.

(iii) Si $P(u) = 0$ , alors $\operatorname{Ker} P(u) = E$ . Par (ii), $p_i(x) = x_i$ , d'où $\sum_i p_i(x) = x$ , $p_i(p_i(x)) = x_i$ et $p_i(p_j(x)) = 0$ pour $i \neq j$ , la décomposition de $x_j$ étant $x_j$ lui-même à la place $j$ .

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Remarque

Pour $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ sur le corps des fractions de $\mathbb Z$ , annulée par $(X - 1)(X - 3)$ (Polynômes d'endomorphismes), on peut prendre $Q_1 = -\frac{X - 3}2, \qquad Q_2 = \frac{X - 1}2,$ qui valent $1$ en $1$ et en $3$ respectivement, et $0$ en l'autre point.

On obtient les projecteurs $p_1 = \frac12(3I_2 - A)$ et $p_2 = \frac12(A - I_2)$ , de matrices $\frac12\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ et $\frac12\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Ils projettent sur les droites propres engendrées par $(1, -1)$ et $(1, 1)$ , chacune parallèlement à l'autre, et vérifient $p_1 + p_2 = I_2$ , $p_1p_2 = 0$ .

Remarque

L'hypothèse « premiers entre eux » ne peut pas être omise. Pour $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $P_1 = P_2 = X$ , on a $\operatorname{Ker} N^2 = K^2$ , alors que $\operatorname{Ker} N + \operatorname{Ker} N$ n'est que la droite $\operatorname{Ker} N$ .

Remarque

C'est le lemme chinois sous un autre vêtement. La loi $P \cdot x = P(u)(x)$ fait de $E$ un K[X]-module (Module), et $\operatorname{Ker} P(u)$ est le sous-module des éléments annulés par $P$ ; la décomposition (i) reflète l'isomorphisme $K[X]/(P) \cong \prod_i K[X]/(P_i)$ .

Les $Q_i$ sont les polynômes d'interpolation de la dernière remarque du nœud Lemme chinois, dans le cas où les $P_i$ sont les $X - a_i$ .

Le chapitre Modules sur un anneau principal pousse ce point de vue jusqu'au bout : la structure de ce $K[X]$ -module donne les facteurs invariants de $u$ et sa forme de Frobenius (Forme de Frobenius).

Repose sur

Polynômes d'un endomorphisme, polynôme minimal Lemme chinois

Sert à

Critères de diagonalisation