Facteurs invariants d'un endomorphisme, forme de Frobenius

(i) et (iv). L'anneau $K[X]$ est euclidien pour le degré (Opérations élémentaires). Par Forme de Smith, (ii), $XI_n - A$ est équivalente, sans choix, à une matrice $D = \operatorname{diag}(\delta_1, \dots, \delta_n)$ en forme de Smith.

Par Module d'un endomorphisme, (iii), Opérations élémentaires, (v), et Théorème de structure, (i), $E_A$ est isomorphe à la somme directe des $K[X]/(\delta_i)$ pour $\delta_i \neq 0$, et d'une copie de $K[X]$ par $\delta_i$ nul.

Aucun $\delta_i$ n'est nul : $E_A$ est de torsion, alors que l'élément $1$ d'une copie de $K[X]$ ne l'est pas. Les $\delta_i$ constants, qui viennent en premier, donnent des termes nuls ; des dilatations les ramènent à $1$, et ramènent les autres à des polynômes unitaires $P_1 \mid \cdots \mid P_k$, puisque deux polynômes associés diffèrent d'une constante non nulle (K[X] principal, (i)). Cela donne l'existence dans (i), et (iv).

L'unicité vient de Unicité, (v), et de ce que deux polynômes unitaires associés sont égaux.

(ii) Soit $g$ un isomorphisme de $\bigoplus_i K[X]/(P_i)$ sur $E_u$, et $E_i$ l'image du $i$-ième terme. Les $E_i$ sont des sous-espaces stables par $u$ (Module d'un endomorphisme, (i)), et $E$ est leur somme directe (Modules libres, (v)).

L'image par $g$ de la base de $K[X]/(P_i)$ décrite en Module d'un endomorphisme, (ii), est une base de $E_i$ dans laquelle la restriction de $u$ a pour matrice $C(P_i)$, puisque $g$ échange la multiplication par $X$ et $u$. Ces bases mises bout à bout forment une base de $E$ (Sous-espaces stables, (i)), dans laquelle la matrice est diagonale par blocs.

Réciproquement, si la matrice de $u$ dans une base est diagonale par blocs $C(Q_i)$, soit $F_i$ le sous-espace engendré par les vecteurs du $i$-ième bloc, stable par $u$.

L'application K-linéaire de $K[X]/(Q_i)$ dans $F_i$ qui envoie $\bar X^j$ sur le $(j+1)$-ième vecteur de ce bloc est bijective, et elle échange la multiplication par $X$ et $u$, qui ont la même matrice $C(Q_i)$ : c'est un isomorphisme de modules. Ainsi $E_u \cong \bigoplus_i K[X]/(Q_i)$, et l'unicité de (i) donne $l = k$ et $Q_i = P_i$.

(iii) L'annulateur de $E_u$ est l'idéal des polynômes annulateurs de $u$, engendré par $\mu_u$ (Polynômes d'endomorphismes, (iii)). Celui de $\bigoplus_i K[X]/(P_i)$ est $(P_k)$ (Théorème de structure, (iv)). Les deux générateurs sont unitaires, donc $\mu_u = P_k$.

Par Sous-espaces stables, (iii), le polynôme caractéristique d'une matrice diagonale par blocs est le produit de ceux des blocs, qui sont les $P_i$ par Module d'un endomorphisme, (ii). Les degrés donnent la dernière égalité.