Théorème 1Réduction des endomorphismes

Polynômes d'un endomorphisme, polynôme minimal

Dans tout ce chapitre, $K$ est un corps, $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie $n \geqslant 1$ , et $u \in {\mathcal L}(E)$ .

L'ensemble $\mathcal L(E)$ est un anneau pour l'addition et la composition, de neutre $\mathrm{id}_E$ . La composition est associative ; elle est distributive des deux côtés, puisque $(v + w) \circ u = v \circ u + w \circ u$ par définition de la somme, et $u \circ (v + w) = u \circ v + u \circ w$ par linéarité de $u$ (Applications linéaires). Cet anneau n'est pas commutatif en général (Matrices).

On pose $u^0 = \mathrm{id}_E$ et $u^{k+1} = u \circ u^k$ . Pour $P = \sum_k a_kX^k \in {K[X]}$ , on définit $P(u) = \sum_k a_k\,u^k \in \mathcal L(E),$ et de même $P(A) = \sum_k a_kA^k$ pour une matrice carrée $A$ . Un polynôme $P$ est annulateur de $u$ si $P(u) = 0$ .

Comme au nœud Valeurs propres, un sous-espace $F$ de $E$ est stable par $u$ si $u(F) \subset F$ . Plus généralement que pour deux sous-espaces (Sommes directes), la somme $F_1 + \cdots + F_k$ de sous-espaces est directe, et se note $F_1 \oplus \cdots \oplus F_k$ , si une égalité $x_1 + \cdots + x_k = 0$ avec $x_i \in F_i$ entraîne que tous les $x_i$ sont nuls ; l'écriture d'un élément de la somme est alors unique.

Énoncé

(i) L'application $P \mapsto P(u)$ est un morphisme d'anneaux de $K[X]$ dans $\mathcal L(E)$ , linéaire, qui envoie $X$ sur $u$ . Deux polynômes en $u$ commutent, et tout $v \in \mathcal L(E)$ qui commute avec $u$ commute avec tous les $P(u)$ .

(ii) Si $v$ commute avec $u$ , $\operatorname{Ker} v$ et $\operatorname{Im} v$ sont stables par $u$ . En particulier, $\operatorname{Ker} P(u)$ et $\operatorname{Im} P(u)$ sont stables par $u$ pour tout $P$ .

(iii) Les polynômes annulateurs de $u$ forment un idéal non nul de $K[X]$ . Son générateur unitaire $\mu_u$ est le polynôme minimal de $u$ : $P(u) = 0$ si et seulement si $\mu_u$ divise $P$ . On a $\deg \mu_u \geqslant 1$ .

(iv) Si $u(x) = \lambda x$ , alors $P(u)(x) = P(\lambda)\,x$ pour tout $P$ . Les racines de $\mu_u$ dans $K$ sont exactement les valeurs propres de $u$ .

(v) Si $A$ est la matrice de $u$ dans une base, $P(A)$ est celle de $P(u)$ . Pour $S$ inversible, $P(S^{-1}AS) = S^{-1}P(A)S$ : deux matrices semblables ont les mêmes polynômes annulateurs, donc le même polynôme minimal.

Démonstration

(i) L'associativité donne $u^i \circ u^j = u^{i+j}$ , par récurrence sur $i$ . L'application est linéaire par construction. Pour $P = \sum_i a_iX^i$ et $Q = \sum_j b_jX^j$ , la composition étant bilinéaire, $\begin{aligned} P(u) \circ Q(u) &= \sum_{i, j} a_ib_j\,u^{i+j} \\ &= \sum_k \Big(\sum_{i+j=k} a_ib_j\Big)u^k, \end{aligned}$ ce qui est $(PQ)(u)$ (Anneau A[X]). L'image de $1$ est $\mathrm{id}_E$ , celle de $X$ est $u$ .

Comme $PQ = QP$ , les endomorphismes $P(u)$ et $Q(u)$ commutent. Si $v \circ u = u \circ v$ , alors $v \circ u^k = u^k \circ v$ par récurrence sur $k$ , puis $v \circ P(u) = P(u) \circ v$ par linéarité.

(ii) Si $v(x) = 0$ , alors $v(u(x)) = u(v(x)) = 0$ . Si $y = v(x)$ , alors $u(y) = v(u(x))$ appartient à $\operatorname{Im} v$ . On applique ceci à $v = P(u)$ , qui commute avec $u$ par (i).

(iii) L'ensemble des annulateurs est le noyau du morphisme (i) : il est stable par différence, et si $P(u) = 0$ , alors $(RP)(u) = R(u) \circ P(u) = 0$ pour tout $R$ . C'est donc un idéal.

Il n'est pas nul. L'espace $\mathcal L(E)$ est de dimension $n^2$ (Matrices, (i)), et la famille $(u^k)_{0 \leqslant k \leqslant n^2}$ , qui a $n^2 + 1$ termes, est liée (Dimension, (ii)). Une relation $\sum_k c_ku^k = 0$ à coefficients non tous nuls fournit l'annulateur non nul $\sum_k c_kX^k$ .

Le générateur unitaire existe et est unique (K[X] principal, (i)), et $P$ appartient à l'idéal $(\mu_u)$ si et seulement si $\mu_u$ divise $P$ . Enfin $\mu_u \neq 1$ , puisque $1(u) = \mathrm{id}_E$ n'est pas nul, $E$ n'étant pas réduit à $\{0\}$ .

(iv) Par récurrence, $u^k(x) = \lambda^kx$ , d'où $P(u)(x) = \sum_k a_k\lambda^kx = P(\lambda)x$ . Si $\lambda$ est valeur propre, de vecteur propre $x \neq 0$ , alors $0 = \mu_u(u)(x) = \mu_u(\lambda)x$ , donc $\mu_u(\lambda) = 0$ .

Réciproquement, si $\mu_u(\lambda) = 0$ , on écrit $\mu_u = (X - \lambda)Q$ (Racines, (i)), avec $\deg Q = \deg \mu_u - 1$ . Un multiple non nul de $\mu_u$ est de degré au moins $\deg \mu_u$ (Anneau A[X], (iii)) ; le polynôme $Q$ , non nul, n'est donc pas annulateur.

Il existe ainsi $y$ tel que $x = Q(u)(y) \neq 0$ , et $(u - \lambda\,\mathrm{id})(x) = \mu_u(u)(y) = 0 :$ $x$ est un vecteur propre associé à $\lambda$ .

(v) L'application $v \mapsto \operatorname{Mat}(v)$ , dans une base fixée, est linéaire et transforme la composition en produit (Matrices, (i) et (ii)) ; elle envoie $\mathrm{id}_E$ sur ${I_n}$ . Par récurrence, elle envoie $u^k$ sur $A^k$ , puis $P(u)$ sur $P(A)$ par linéarité.

Par associativité du produit (Matrices, (iii)), $(S^{-1}AS)^k = S^{-1}A^kS$ par récurrence sur $k$ , et l'on conclut par linéarité ; $S^{-1}P(A)S$ est nulle si et seulement si $P(A)$ l'est.

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Remarque

Soit $F$ le corps des fractions de $\mathbb Z$ et $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \in {\mathcal M_2}(F)$ , déjà rencontrée au nœud Valeurs propres. On calcule $A^2 = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 4A - 3I_2.$

Le polynôme $X^2 - 4X + 3 = (X - 1)(X - 3)$ annule donc $A$ . Aucun polynôme unitaire de degré $1$ , $X - c$ , ne l'annule, puisque $A$ n'est pas égale à $cI_2$ : c'est le polynôme minimal, et ses racines $1$ et $3$ sont bien les valeurs propres, comme l'annonce (iv).

Le polynôme minimal donne aussi l'inverse, sans aucun déterminant : de $A(4I_2 - A) = 3I_2$ on tire $A^{-1} = \frac13(4I_2 - A)$ .

Remarque

L'erreur la plus répandue est de lire $A^k$ comme une puissance calculée coefficient par coefficient. C'est le produit matriciel de $k$ copies de $A$ : pour $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ , élever chaque coefficient au carré redonnerait $N$ , alors que $N^2 = 0$ . Le polynôme minimal de $N$ est $X^2$ , puisque $N \neq 0$ .

Remarque

Le polynôme minimal d'un élément algébrique, au nœud Éléments algébriques de la théorie de Galois, naît du même geste : c'est le générateur du noyau d'un morphisme d'évaluation. Par le théorème d'isomorphisme, l'anneau $K[u]$ des polynômes en $u$ est isomorphe à $K[X]/(\mu_u)$ .

Mais $\mu_u$ n'est pas irréductible en général, et $K[u]$ n'est alors pas un corps : pour la matrice $N$ ci-dessus, $K[N]$ contient l'élément non nul $N$ , de carré nul.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Lemme des noyaux Sous-espaces stables et matrices triangulaires par blocs Théorème de Cayley-Hamilton