Théorème de Cayley-Hamilton

(i) Par Polynômes d'endomorphismes, (v), il suffit de traiter la matrice $A$ de $u$. Si $n = 1$, $A = (a_{11})$, $\chi_A = X - a_{11}$ et $\chi_A(A) = A - a_{11}{I_1} = 0$ ; on suppose désormais $n \geqslant 2$, pour que les cofacteurs soient des déterminants de matrices de taille $n - 1 \geqslant 1$.

Soit $M = XI_n - A$, matrice à coefficients dans ${K[X]}$, et $\chi_A = \sum_{k=0}^n c_kX^k$, avec $c_n = 1$.

La comatrice. Dans le corps $K(X)$, la formule de la comatrice (Comatrice) donne $${}^t\!\operatorname{com} M \; M = \det M \cdot I_n = \chi_A\,I_n.$$ Chaque cofacteur est, au signe près, le déterminant d'une matrice de taille $n - 1$ extraite de $M$.

Ce déterminant appartient à $K[X]$ et il est de degré au plus $n - 1$, chaque terme de la formule du déterminant étant un produit de $n - 1$ coefficients de degré au plus $1$ (Polynôme caractéristique, (i)).

Écriture selon les puissances de $X$. Une matrice à coefficients dans $K[X]$, de degrés au plus $d$, s'écrit de manière unique $\sum_{k=0}^d X^kB_k$ avec $B_k \in \mathcal M_n(K)$, la matrice $B_k$ rassemblant les coefficients d'indice $k$ (Anneau A[X], (i)).

Écrivons ainsi ${}^t\!\operatorname{com} M = \sum_{k=0}^{n-1} X^kB_k$, et posons $B_{-1} = B_n = 0$. Comme $X$ commute avec tout, le produit vaut $$\begin{aligned} &\Big(\sum_k X^kB_k\Big)(XI_n - A) \\ &\quad = \sum_k X^{k+1}B_k - \sum_k X^kB_kA \\ &\quad = \sum_{k=0}^n X^k\,(B_{k-1} - B_kA). \end{aligned}$$

En identifiant les coefficients d'indice $k$ avec ceux de $\chi_A I_n$, il vient, pour $0 \leqslant k \leqslant n$, $$B_{k-1} - B_kA = c_k\,I_n.$$

Télescopage. Multiplions la relation d'indice $k$ à droite par $A^k$ et sommons : $$\begin{aligned} \chi_A(A) &= \sum_{k=0}^n c_kA^k \\ &= \sum_{k=0}^n \big(B_{k-1}A^k - B_kA^{k+1}\big) \\ &= B_{-1} - B_nA^{n+1} = 0, \end{aligned}$$ les termes intermédiaires se compensant deux à deux.

(ii) Par (i), $\chi_u$ est annulateur, donc multiple de $\mu_u$ (Polynômes d'endomorphismes, (iii)), et $\deg \mu_u \leqslant \deg \chi_u = n$. Les racines de $\mu_u$ et celles de $\chi_u$ sont, dans les deux cas, les valeurs propres (Polynômes d'endomorphismes, (iv), et Polynôme caractéristique, (iv)).

(iii) Le terme constant $c_0 = (-1)^n\det u$ n'est pas nul (Polynôme caractéristique, (ii), et Déterminant, (ii)). La relation (i) s'écrit $$u \circ \Big(-\frac1{c_0}\sum_{k=1}^n c_ku^{k-1}\Big) = \mathrm{id}_E,$$ et le facteur de droite, polynôme en $u$, commute avec $u$ : c'est $u^{-1}$.