Théorème 7Réduction des endomorphismes

Trigonalisation

L'endomorphisme $u$ est trigonalisable s'il existe une base de $E$ dans laquelle sa matrice est triangulaire supérieure.

Énoncé

(i) Les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) $u$ est trigonalisable ;

(b) $\chi_u$ est scindé ;

(d) $u$ est annulé par un polynôme scindé.

(ii) Si $\chi_u = \prod_i (X - \lambda_i)^{m_i}$ , avec des $\lambda_i$ deux à deux distincts, chaque $\lambda_i$ figure exactement $m_i$ fois sur la diagonale de toute matrice triangulaire de $u$ , et $\operatorname{tr} u = \sum_i m_i\lambda_i, \qquad \det u = \prod_i \lambda_i^{m_i}.$

Démonstration

(i) (a) ⇒ (b) par Sous-espaces stables, (iv). (b) ⇒ (d) par le théorème de Cayley-Hamilton (Cayley-Hamilton, (i)). (d) ⇒ (c) : $\mu_u$ divise l'annulateur (Polynômes d'endomorphismes, (iii)), et un diviseur unitaire d'un polynôme scindé est scindé (Polynôme caractéristique, (v)). (c) ⇒ (d) : $\mu_u$ , scindé, annule $u$ .

(d) ⇒ (a), par récurrence sur $n$ , pour tous les espaces de dimension $n$ à la fois. Si $n = 1$ , toute matrice est triangulaire.

Soit $n \geqslant 2$ et $P$ scindé tel que $P(u) = 0$ . Le polynôme $\mu_u$ , qui divise $P$ , est scindé et de degré au moins $1$ ; il a donc une racine $\lambda$ , qui est une valeur propre (Polynômes d'endomorphismes, (iv)). Soit $e_1$ un vecteur propre associé, $F = Ke_1$ , stable, et $\bar u$ l'endomorphisme induit sur $E/F$ , de dimension $n - 1$ .

Par Sous-espaces stables, (v), $\mu_u$ annule $\bar u$ ; l'hypothèse de récurrence fournit une base $(\varepsilon_2, \dots, \varepsilon_n)$ de $E/F$ dans laquelle $\bar u(\varepsilon_j) = \sum_{2 \leqslant i \leqslant j} t_{ij}\varepsilon_i$ . Choisissons $e_j \in E$ tel que $\pi(e_j) = \varepsilon_j$ , pour $2 \leqslant j \leqslant n$ .

La famille $(e_1, \dots, e_n)$ est libre : si $\sum_j a_je_j = 0$ , l'image par $\pi$ donne $\sum_{j \geqslant 2} a_j\varepsilon_j = 0$ , donc $a_j = 0$ pour $j \geqslant 2$ , puis $a_1 = 0$ . Elle a $n$ éléments : c'est une base (Dimension, (ii)).

Enfin $\pi\big(u(e_j) - \sum_{2 \leqslant i \leqslant j} t_{ij}e_i\big) = \bar u(\varepsilon_j) - \sum_i t_{ij}\varepsilon_i = 0$ , donc $u(e_j) - \sum_{2 \leqslant i \leqslant j} t_{ij}e_i \in F = Ke_1$ . Ainsi $u(e_j) \in \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_j)$ pour tout $j$ , et la matrice de $u$ est triangulaire supérieure.

(ii) Si la matrice est triangulaire, de coefficients diagonaux $t_{11}, \dots, t_{nn}$ , alors $\chi_u = \prod_j (X - t_{jj})$ (Sous-espaces stables, (iv)).

En regroupant les $t_{jj}$ égaux, on obtient une écriture $\prod (X - \lambda)^{e_\lambda}$ , où $e_\lambda$ est le nombre de $j$ tels que $t_{jj} = \lambda$ ; par Polynôme caractéristique, (v), $e_\lambda$ est la multiplicité de $\lambda$ , soit $m_i$ pour $\lambda = \lambda_i$ .

La trace est celle de la matrice (Trace, (iii)), somme des $t_{jj}$ , et le déterminant celui de la matrice (Déterminant d'une matrice, (i)), produit des $t_{jj}$ (Sous-espaces stables, (ii)).

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Remarque

Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ , $\chi_A = (X - 1)(X - 3) + 1 = (X - 2)^2$ est scindé. Le seul sous-espace propre est la droite engendrée par $e_1 = (1, 1)$ , de sorte que $A$ n'est pas diagonalisable ; mais en complétant $e_1$ par $e_2 = (0, 1)$ , on obtient $Ae_2 = (1, 3) = e_1 + 2e_2$ , et la matrice dans la base $(e_1, e_2)$ est $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}.$

La preuve de (d) ⇒ (a) est exactement ce calcul : un vecteur propre, puis le quotient par la droite qu'il engendre.

Remarque

Sur les nombres complexes, tout polynôme non constant est scindé : c'est le théorème de d'Alembert-Gauss, admis dans la branche de $\mathbb C$ et démontré en analyse complexe (Liouville). Toute matrice complexe est donc trigonalisable, et (ii) exprime sa trace et son déterminant par ses valeurs propres complexes comptées avec multiplicité.

Une matrice réelle peut ne pas l'être sur $\mathbb R$ : la rotation $J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ n'a aucune valeur propre réelle, alors que, vue comme matrice complexe, elle est même diagonalisable. Le même contraste se lit, sans quitter l'arbre, entre ${\mathbb Z/3\mathbb Z}$ et $\mathbb Z/5\mathbb Z$ (Diagonalisation).

Remarque

La matrice triangulaire n'est pas unique, et l'endomorphisme dont la matrice, dans la base de trigonalisation, est la matrice diagonale extraite dépend de cette base : seuls les coefficients diagonaux, comptés avec multiplicité, sont imposés par (ii). L'erreur la plus répandue est de prendre cet endomorphisme pour la « partie diagonalisable » de $u$ ; le nœud Dunford montrera, sur l'exemple de $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ , qu'il n'en est rien.

Repose sur

Sous-espaces stables et matrices triangulaires par blocs Théorème de Cayley-Hamilton

Sert à

Endomorphismes nilpotents