Théorème de Liouville et d'Alembert-Gauss

(i) Si $|f| \leqslant M$ sur $\mathbb C$, les inégalités de Cauchy (Analyticité) en $c = 0$ donnent, les $c_n = f^{(n)}(0)/n!$ ne dépendant pas de $r$, $|c_n| \leqslant M r^{-n}$ pour tout $r > 0$ ; pour $n \geqslant 1$, on fait tendre $r$ vers l'infini : $c_n = 0$. Le développement, valable sur tout disque, donc sur $\mathbb C$, se réduit à $f = c_0$.

(ii) Soit $P = \sum_{k \leqslant d} a_k X^k$ avec $d \geqslant 1$ et $a_d \neq 0$, et supposons qu'il n'ait pas de racine. Pour $$|z| \geqslant \rho = \max\Big(1, \frac{2}{|a_d|}\sum_{k < d} |a_k|\Big),$$ on a $$\begin{aligned} |P(z)| &\geqslant |a_d||z|^d - \sum_{k < d}|a_k||z|^{d-1} \\ &\geqslant \frac{|a_d|}{2}|z|^d \geqslant \frac{|a_d|}{2}. \end{aligned}$$

Sur le disque fermé $\overline D(0, \rho)$, compact (Suites et séries complexes), la fonction continue $|P|$ atteint son minimum $m_0$ (Compacts de ℝ, (iii)), qui est strictement positif puisque $P$ ne s'annule pas.

Ainsi $|P|$ est minorée sur $\mathbb C$ par $m = \min\big(m_0, \frac{|a_d|}{2}\big) > 0$, et $1/P$ est entière et bornée par $1/m$ ; par (i), elle est constante, donc $P$ aussi : contradiction.