Théorème 3Réduction des endomorphismes

Polynôme caractéristique

L'anneau ${K[X]}$ est intègre (Anneau A[X], (iii)) ; son corps des fractions (Corps des fractions) est le corps des fractions rationnelles, noté $K(X)$ , dans lequel on identifie $K[X]$ au sous-anneau des $P/1$ .

Toute l'algèbre linéaire de l'édifice est établie sur un corps commutatif quelconque ; elle s'applique donc au corps $K(X)$ , et en particulier le déterminant d'une matrice de ${\mathcal M_n}(K(X))$ est défini et multiplicatif (Déterminant d'une matrice).

Le polynôme caractéristique d'une matrice $A \in \mathcal M_n(K)$ est $\chi_A = \det(X{I_n} - A),$ déterminant calculé dans le corps $K(X)$ ; le point (i) montre qu'il appartient à $K[X]$ . Celui de $u$ , noté $\chi_u$ , est celui de sa matrice dans une base quelconque, ce que justifie (iii).

Un polynôme non nul $P$ est scindé sur $K$ s'il s'écrit $c\prod_{i=1}^d (X - \alpha_i)$ avec $c, \alpha_1, \dots, \alpha_d \in K$ et $d = \deg P$ . Si $\chi_u$ est scindé, la multiplicité d'une valeur propre $\lambda$ est sa multiplicité comme racine de $\chi_u$ .

Énoncé

(i) Le déterminant d'une matrice $M = (m_{ij})$ à coefficients dans $K[X]$ est la somme $\sum_\sigma \varepsilon(\sigma)\prod_j m_{\sigma(j)\,j}$ , calculée dans $K[X]$ . Pour tout morphisme d'anneaux $\varphi$ de $K[X]$ dans un corps $L$ , on a $\varphi(\det M) = \det \varphi(M)$ , où $\varphi(M)$ est la matrice des $\varphi(m_{ij})$ .

(ii) $\chi_A$ est unitaire de degré $n$ , et $\begin{aligned} \chi_A &= X^n - (\operatorname{tr} A)X^{n-1} + \cdots \\ &\quad + (-1)^n\det A. \end{aligned}$

(iii) Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique ; $\chi_u$ ne dépend donc pas de la base.

(iv) Pour tout $\lambda \in K$ , $\chi_u(\lambda) = \det(\lambda\,\mathrm{id} - u)$ . Les valeurs propres de $u$ sont exactement les racines de $\chi_u$ dans $K$ .

(v) Si $P = c\prod_{i=1}^d (X - \alpha_i)$ est scindé, tout diviseur unitaire de $P$ s'écrit $\prod_{i \in J}(X - \alpha_i)$ pour une partie $J$ de $\{1, \dots, d\}$ ; il est scindé. Si $P = \prod_{i=1}^k (X - \lambda_i)^{m_i}$ avec des $\lambda_i$ deux à deux distincts, $m_i$ est la multiplicité de la racine $\lambda_i$ .

Démonstration

(i) La formule du déterminant (Déterminant d'une matrice) n'emploie que des sommes, des produits et les signes $\pm 1$ ; appliquée à des éléments du sous-anneau $K[X]$ , elle donne un élément de $K[X]$ . Un morphisme d'anneaux respecte les sommes et les produits, et envoie $\pm 1$ sur $\pm 1$ : il transforme la formule pour $M$ en la formule pour $\varphi(M)$ .

(ii) Les coefficients de $M = XI_n - A$ sont $m_{jj} = X - a_{jj}$ , de degré $1$ , et $m_{ij} = -a_{ij}$ , constants, pour $i \neq j$ . Si $\sigma \neq \mathrm{id}$ , $\sigma$ déplace au moins deux indices, puisqu'une permutation qui fixe $n - 1$ éléments fixe aussi le dernier ; le produit $\prod_j m_{\sigma(j)\,j}$ a donc au plus $n - 2$ facteurs de degré $1$ , et il est de degré au plus $n - 2$ .

Le terme de l'identité est $\prod_j (X - a_{jj})$ .

Par récurrence sur le nombre de facteurs, un produit $\prod_{j \leqslant k}(X - a_{jj})$ s'écrit $X^k - \big(\sum_{j \leqslant k} a_{jj}\big)X^{k-1}$ plus des termes de degré au plus $k - 2$ , puisque $\begin{aligned} &(X^k - sX^{k-1} + R)(X - a) \\ &\quad = X^{k+1} - (s + a)X^k + R_1 \end{aligned}$ avec $\deg R \leqslant k - 2$ et $\deg R_1 \leqslant k - 1$ . D'où le coefficient dominant $1$ et le coefficient $-\operatorname{tr} A$ de $X^{n-1}$ .

Le terme constant est la valeur en $0$ . Par (i), appliqué à l'évaluation en $0$ (Évaluation, (i)), il vaut $\det(-A)$ , c'est-à-dire $(-1)^n\det A$ , chacune des $n$ colonnes étant multipliée par $-1$ et le déterminant étant $n$ -linéaire en les colonnes (Formes alternées, (ii)).

(iii) Pour $S$ inversible, $XI_n - S^{-1}AS = S^{-1}(XI_n - A)S$ dans $\mathcal M_n(K(X))$ , puisque $S^{-1}(XI_n)S = XI_n$ . Le déterminant étant multiplicatif sur le corps $K(X)$ , avec $\det S^{-1}\det S = \det I_n = 1$ , les deux polynômes caractéristiques sont égaux. Les matrices d'un même endomorphisme dans deux bases sont semblables (Trace, (iii)).

(iv) L'évaluation en $\lambda$ est un morphisme d'anneaux de $K[X]$ dans $K$ (Évaluation, (i)), qui envoie $XI_n - A$ sur $\lambda I_n - A$ , matrice de $\lambda\,\mathrm{id} - u$ .

Par (i) et Déterminant d'une matrice, (i), $\chi_u(\lambda) = \det(\lambda\,\mathrm{id} - u)$ , qui vaut $(-1)^n\det(u - \lambda\,\mathrm{id})$ comme dans (ii). Il est nul si et seulement si $\lambda$ est valeur propre (Valeurs propres, (i)).

(v) Chaque $X - \alpha_i$ est irréductible et unitaire (Irréductibles, (iii)) : $c \cdot \prod_i (X - \alpha_i)$ est la factorisation de $P$ .

Si $P = DD'$ avec $D$ unitaire, les factorisations de $D$ et de $D'$ , mises bout à bout, en donnent une de $P$ ; par unicité (Irréductibles, (ii)), les facteurs irréductibles de $D$ sont certains des $X - \alpha_i$ , chacun pris au plus autant de fois qu'il figure dans $P$ .

Pour la seconde assertion, $P = (X - \lambda_i)^{m_i}Q$ avec $Q = \prod_{j \neq i}(X - \lambda_j)^{m_j}$ , et $Q(\lambda_i) = \prod_{j \neq i}(\lambda_i - \lambda_j)^{m_j}$ n'est pas nul, $K$ étant intègre ; on conclut par Racines, (ii).

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Remarque

Pourquoi passer par $K(X)$ ? Le déterminant n'est construit dans l'édifice que sur un corps, et $XI_n - A$ est une matrice à coefficients dans l'anneau $K[X]$ , qui n'en est pas un. Le corps des fractions fournit un corps qui contient $K[X]$ ; le point (i) assure que rien n'est perdu.

La voie qui paraît plus simple, définir $\chi_u$ par la fonction $\lambda \mapsto \det(\lambda\,\mathrm{id} - u)$ , ne convient pas sur un corps fini, où un polynôme n'est pas déterminé par sa fonction (Évaluation).

Sur ${\mathbb Z/2\mathbb Z}$ , la matrice nulle de taille $3$ et la matrice $C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ ont pour polynômes caractéristiques $X^3$ et $X^3 + X^2 + X$ , distincts, qui prennent pourtant les mêmes valeurs, $\overline 0$ en $\overline 0$ et $\overline 1$ en $\overline 1$ .

Remarque

Pour $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ , on trouve $\chi_A = (X - 2)^2 - 1 = X^2 - 4X + 3$ : le coefficient $-4$ est l'opposé de la trace, et $3$ est le déterminant, comme le veut (ii). Ici $\chi_A$ est égal au polynôme minimal ; le nœud Cayley-Hamilton montrera qu'il en est toujours un multiple.

Pour la rotation $J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , $\chi_J = X^2 + 1$ . Sur $\mathbb Z/3\mathbb Z$ , il prend les valeurs $\overline 1$ , $\overline 2$ , $\overline 2$ : $J$ n'a aucune valeur propre. Sur $\mathbb Z/5\mathbb Z$ , $X^2 + 1 = (X - \overline 2)(X - \overline 3)$ , et $J$ en a deux.

Remarque

On rencontre aussi la convention $\det(A - XI_n) = (-1)^n\chi_A$ , qui a les mêmes racines. Celle qui est retenue ici rend $\chi_A$ unitaire, ce qui permet de le comparer au polynôme minimal, unitaire lui aussi, sans se soucier d'un signe.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Sous-espaces stables et matrices triangulaires par blocs Théorème de Cayley-Hamilton