ChapitreAlgèbre commutative

Réduction des endomorphismes

Un endomorphisme $u$ d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps $K$ fait de l'espace un module sur l'anneau principal ${K[X]}$, et sa réduction est l'arithmétique de ce module. Le chapitre construit le morphisme $P \mapsto P(u)$ et le polynôme minimal, puis le lemme des noyaux, qui est le lemme chinois dans $K[X]$, et le polynôme caractéristique, défini comme un déterminant dans le corps des fractions rationnelles $K(X)$ pour que toute l'algèbre linéaire s'y applique.

Viennent ensuite le théorème de Cayley-Hamilton, démontré par la comatrice, les critères de diagonalisation (polynôme minimal scindé à racines simples) et de trigonalisation (polynôme caractéristique scindé), les endomorphismes nilpotents, les sous-espaces caractéristiques, la décomposition de Dunford et la forme de Jordan. Aucune forme du choix n'intervient.