Sous-espaces caractéristiques

(i) Les polynômes $(X - \lambda_i)^{m_i}$ sont deux à deux premiers entre eux : une relation de Bézout entre $X - \lambda_i$ et $X - \lambda_j$, élevée à la puissance $m_i + m_j - 1$ et développée, en fournit une entre leurs puissances, chaque terme étant multiple de $(X - \lambda_i)^{m_i}$ ou de $(X - \lambda_j)^{m_j}$ (Binôme de Newton, (ii)).

Comme $\chi_u$ annule $u$ (Cayley-Hamilton, (i)), le lemme des noyaux (Lemme des noyaux, (iii)) donne la décomposition et les projecteurs ; les $N_i$ sont stables par Polynômes d'endomorphismes, (ii).

(ii) Le sous-espace $N_i$ n'est pas nul : il contient $E_{\lambda_i} = \operatorname{Ker}(u - \lambda_i\,\mathrm{id})$, non nul puisque $\lambda_i$, racine de $\chi_u$, est valeur propre (Polynôme caractéristique, (iv)). Soit $d_i = \dim N_i \geqslant 1$ et $u_i$ la restriction de $u$ à $N_i$. L'endomorphisme $n_i = u_i - \lambda_i\,\mathrm{id}$ de $N_i$ vérifie $n_i^{m_i} = 0$, par définition de $N_i$ : il est nilpotent, et $\chi_{n_i} = X^{d_i}$ (Nilpotents, (ii)).

La substitution $\varphi : P \mapsto P(X - \lambda_i)$ est un morphisme d'anneaux de $K[X]$ dans lui-même (Évaluation, (ii)), donc dans $K(X)$. Si $A$ est une matrice de $n_i$, celle de $u_i$ est $A + \lambda_iI$, et $\varphi(XI - A) = (X - \lambda_i)I - A = XI - (A + \lambda_iI)$. Par Polynôme caractéristique, (i), $$\chi_{u_i} = \varphi(\chi_{n_i}) = (X - \lambda_i)^{d_i}.$$

Par Sous-espaces stables, (iii), appliqué à la décomposition (i), $\chi_u = \prod_i (X - \lambda_i)^{d_i}$, et la comparaison avec $\prod_i (X - \lambda_i)^{m_i}$ donne $d_i = m_i$ (Polynôme caractéristique, (v)).

(iii) Les noyaux. Pour $l \neq i$, $\lambda_i$ n'est pas racine de $\chi_{u_l} = (X - \lambda_l)^{m_l}$, donc pas valeur propre de $u_l$ (Polynôme caractéristique, (iv)) : $u - \lambda_i\,\mathrm{id}$ est injectif sur $N_l$, et ses puissances aussi.

Soit $x = \sum_l x_l$, avec $x_l \in N_l$, tel que $(u - \lambda_i\,\mathrm{id})^j(x) = 0$. Les termes $(u - \lambda_i\,\mathrm{id})^j(x_l)$ appartiennent aux $N_l$, stables, et leur somme est nulle ; la somme étant directe, chacun est nul, et $x_l = 0$ pour $l \neq i$. Ainsi $\operatorname{Ker}(u - \lambda_i\,\mathrm{id})^j$ est contenu dans $N_i$, où il coïncide avec $\operatorname{Ker} n_i^j$.

La croissance stricte jusqu'à l'indice, puis la constance, sont le point (ii) du nœud Nilpotents, appliqué à $n_i$ ; pour $j = 1$, on obtient $E_{\lambda_i} = \operatorname{Ker} n_i$, égal à $N_i$ si et seulement si $r_i = 1$.

Le polynôme minimal. Un polynôme $P$ annule $u$ si et seulement s'il annule chaque $u_i$, puisque $P(u)$ agit sur $N_i$ comme $P(u_i)$ (Sous-espaces stables, (v)). Le polynôme $(X - \lambda_i)^{r_i}$ annule $u_i$, et $(X - \lambda_i)^{r_i - 1}$ ne l'annule pas ; comme $\mu_{u_i}$ divise $(X - \lambda_i)^{r_i}$, c'est un $(X - \lambda_i)^s$ (Polynôme caractéristique, (v)), et $s = r_i$.

Ainsi $P(u) = 0$ si et seulement si chaque $(X - \lambda_i)^{r_i}$ divise $P$. Ces polynômes sont deux à deux premiers entre eux, comme au point (i), donc les idéaux $((X - \lambda_i)^{r_i})$ sont deux à deux comaximaux, et leur intersection est leur produit, l'idéal engendré par $\prod_i (X - \lambda_i)^{r_i}$ (Lemme chinois) : la condition équivaut à ce que ce produit divise $P$. Le produit est unitaire : c'est $\mu_u$.

Ce polynôme est à racines simples si et seulement si tous les $r_i$ valent $1$, et l'on conclut par le critère (c) du nœud Diagonalisation, (i).