Théorème 6Algèbre commutative

Lemme chinois

Le produit $IJ$ de deux idéaux est l'idéal engendré par les produits $xy$ , $x \in I$ , $y \in J$ : c'est l'ensemble des sommes finies de tels produits. Il est contenu dans $I \cap J$ . Par récurrence, en développant les produits de sommes, $(I_1 \cdots I_{n-1})I_n$ est l'idéal engendré par les produits $x_1 \cdots x_n$ , $x_k \in I_k$ ; l'associativité et la commutativité du produit des idéaux en découlent.

Deux idéaux $I$ et $J$ sont comaximaux si $I + J = A$ .

Le produit $A_1 \times \cdots \times A_n$ d'anneaux est le produit cartésien muni des lois composante par composante ; c'est un anneau, de neutres $(0, \dots, 0)$ et $(1, \dots, 1)$ .

Énoncé

Soient $I_1, \dots, I_n$ des idéaux de $A$ deux à deux comaximaux, avec $n \geqslant 1$ . Alors $I_1 \cap \cdots \cap I_n = I_1 \cdots I_n$ , et l'application $\begin{aligned} A &\to A/I_1 \times \cdots \times A/I_n, \\ a &\mapsto (a + I_1, \dots, a + I_n) \end{aligned}$ est un morphisme d'anneaux surjectif de noyau $I_1 \cap \cdots \cap I_n$ . Il induit un isomorphisme $A/(I_1 \cdots I_n) \cong \prod_k A/I_k$ .

Démonstration

Cas $n = 2$ . Écrivons $1 = x + y$ avec $x \in I$ et $y \in J$ . Si $a \in I \cap J$ , alors $a = ax + ay$ , où $ax \in IJ$ puisque $a \in J$ , et $ay \in IJ$ puisque $a \in I$ : $I \cap J \subset IJ$ , et l'autre inclusion est claire.

L'application est un morphisme, chaque composante étant une surjection canonique (Anneau quotient), et son noyau est $I \cap J$ .

Elle est surjective : pour $a, b \in A$ , l'élément $c = ay + bx$ vérifie $c - a = a(y - 1) + bx = -ax + bx \in I$ et, de même, $c - b \in J$ . Le théorème d'isomorphisme (même nœud) donne la dernière assertion.

Cas général, par récurrence sur $n$ . Pour $k \geqslant 2$ , écrivons $1 = x_k + y_k$ avec $x_k \in I_1$ , $y_k \in I_k$ . En développant $1 = \prod_{k \geqslant 2}(x_k + y_k)$ , tous les termes contiennent un facteur $x_k$ , donc sont dans $I_1$ , sauf $y_2 \cdots y_n \in I_2 \cdots I_n$ : les idéaux $I_1$ et $I_2 \cdots I_n$ sont comaximaux.

Par le cas $n = 2$ et l'hypothèse de récurrence, $\begin{aligned} I_1 \cap (I_2 \cap \cdots \cap I_n) &= I_1 \cap (I_2 \cdots I_n) \\ &= I_1 \cdots I_n, \end{aligned}$ et l'application est la composée de $A \to A/I_1 \times A/(I_2 \cdots I_n)$ , surjective, et du produit de l'identité de $A/I_1$ et de l'isomorphisme $A/(I_2 \cdots I_n) \cong \prod_{k \geqslant 2} A/I_k$ .

□

Remarque

Pour $A = {\mathbb Z}$ , $m\mathbb Z$ et $n\mathbb Z$ sont comaximaux si et seulement si $m \wedge n = 1$ , par Bézout (PGCD, Bézout), et l'on obtient $\mathbb Z/mn\mathbb Z \cong \mathbb Z/m\mathbb Z \times \mathbb Z/n\mathbb Z$ , isomorphisme d'anneaux et pas seulement de groupes.

Pour $m = 3$ et $n = 4$ , l'élément $c = ay + bx$ de la preuve, avec $1 = 4 - 3$ , soit $x = -3$ et $y = 4$ , est $c = 4a - 3b$ : pour $a = 2$ et $b = 3$ , $c = -1$ , qui vaut bien $2$ modulo $3$ et $3$ modulo $4$ .

La case de ligne

a

et de colonne

b

contient l'unique

k \in \{0, \dots, 11\}

tel que

k \equiv a \pmod 3

k \equiv b \pmod 4

. En partant de

0

et en avançant d'une case en diagonale à chaque pas, avec retour au bord opposé, les entiers

0

11

visitent les douze cases une fois chacune : c'est la bijection

\mathbb Z/12\mathbb Z \to \mathbb Z/3\mathbb Z \times \mathbb Z/4\mathbb Z

. La case rouge,

(2, 3)

, est atteinte par

11

, c'est-à-dire par

-1

Remarque

L'erreur la plus répandue est d'oublier la comaximalité. Les idéaux $2\mathbb Z$ et $2\mathbb Z$ ne sont pas comaximaux, et $\mathbb Z/4\mathbb Z$ n'est pas isomorphe à $\mathbb Z/2\mathbb Z \times \mathbb Z/2\mathbb Z$ , qui n'a aucun élément d'ordre additif $4$ ; ici $2\mathbb Z \cap 2\mathbb Z = 2\mathbb Z$ , alors que le produit est $4\mathbb Z$ .

Remarque

Pour des éléments $a_1, \dots, a_n$ deux à deux distincts d'un corps $K$ , les idéaux $(X - a_k)$ de $K[X]$ sont deux à deux comaximaux, puisque $(X - a_k) - (X - a_l) = a_l - a_k$ est inversible. Le lemme chinois dit alors qu'il existe un polynôme qui prend des valeurs prescrites aux points $a_k$ , unique modulo $\prod_k (X - a_k)$ : c'est l'interpolation de Lagrange.

Repose sur

Structures algébriques

Sert à

Réduction des endomorphismes