Critères de diagonalisation

(i) (a) ⇒ (b). Dans une base de vecteurs propres, chaque vecteur $e$ vérifie $u(e) = \lambda_ie$ pour un $i$. Le polynôme $P = \prod_i (X - \lambda_i)$ s'écrit $Q\,(X - \lambda_i)$, d'où $P(u)(e) = Q(u)\big((u - \lambda_i\,\mathrm{id})(e)\big) = 0$ (Polynômes d'endomorphismes, (i)). L'endomorphisme $P(u)$ s'annule sur une base : il est nul.

(b) ⇒ (c). Le polynôme minimal divise l'annulateur $P$ (Polynômes d'endomorphismes, (iii)) ; il est donc de la forme $\prod_{j \in J}(X - \alpha_j)$ (Polynôme caractéristique, (v)), scindé à racines simples. Ses racines sont les valeurs propres (Polynômes d'endomorphismes, (iv)), d'où $\mu_u = \prod_i (X - \lambda_i)$.

(c) ⇒ (d). Les polynômes $X - \lambda_i$ sont deux à deux premiers entre eux, puisque $$\frac{(X - \lambda_i) - (X - \lambda_j)}{\lambda_j - \lambda_i} = 1$$ est une relation de Bézout. Le lemme des noyaux (Lemme des noyaux, (iii)), appliqué à $\mu_u = \prod_i (X - \lambda_i)$, donne $E = \bigoplus_i \operatorname{Ker}(u - \lambda_i\,\mathrm{id}) = \bigoplus_i E_{\lambda_i}$.

(d) ⇒ (a). Des bases des $E_{\lambda_i}$, mises bout à bout, forment une base de $E$ (Sous-espaces stables, (i)), formée de vecteurs propres.

(d) ⇒ (e). Les $E_{\lambda_i}$ sont stables, et $u$ y induit $\lambda_i\,\mathrm{id}$, de polynôme caractéristique $(X - \lambda_i)^{d_i}$ avec $d_i = \dim E_{\lambda_i}$ (Sous-espaces stables, (iv)). Par Sous-espaces stables, (iii), $\chi_u = \prod_i (X - \lambda_i)^{d_i}$ est scindé, et la multiplicité de $\lambda_i$ est $d_i$ (Polynôme caractéristique, (v)).

(e) ⇒ (d). La somme des $E_{\lambda_i}$ est directe : dans une relation $\sum_i x_i = 0$ avec $x_i \in E_{\lambda_i}$, les $x_i$ non nuls seraient des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, formant une famille liée, contrairement à Valeurs propres, (ii).

Par (i) du nœud Sous-espaces stables, la dimension de cette somme est $\sum_i \dim E_{\lambda_i}$, c'est-à-dire la somme des multiplicités. Comme $\chi_u$ est scindé, de degré $n$, et que ses racines sont les $\lambda_i$, il s'écrit $\prod_i (X - \lambda_i)^{m_i}$, où $m_i$ est la multiplicité de $\lambda_i$ (Polynôme caractéristique, (v)), et cette somme vaut $\sum_i m_i = n$ ; la somme directe est donc $E$ (Dimension, (iii)).

(ii) Le polynôme minimal de $u_F$ divise $\mu_u$ (Sous-espaces stables, (v)), scindé à racines simples ; il l'est donc lui aussi, et l'on applique (c) ⇒ (a) à $u_F$.

(iii) Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ les valeurs propres de $u$. Chaque $E_{\lambda_i}$ est stable par $v$, puisque $u - \lambda_i\,\mathrm{id}$ commute avec $v$ (Polynômes d'endomorphismes, (ii)).

La restriction de $v$ à $E_{\lambda_i}$ est diagonalisable par (ii) ; on choisit dans chaque $E_{\lambda_i}$ une base de vecteurs propres de $v$, qui sont aussi propres pour $u$, et on les met bout à bout, ce qui donne une base de $E$ par (d) et Sous-espaces stables, (i).