Sous-espaces stables et matrices triangulaires par blocs

(i) La famille obtenue engendre chaque $F_i$, donc leur somme $E$. Une combinaison linéaire nulle s'écrit $y_1 + \cdots + y_k = 0$, où $y_i \in F_i$ regroupe les termes de la base de $F_i$ ; la somme étant directe, chaque $y_i$ est nul, et ses coefficients aussi, par liberté de la base de $F_i$.

(ii) Notons $A = (a_{ij})$ la matrice entière. Dans la formule $\sum_\sigma \varepsilon(\sigma)\prod_j a_{\sigma(j)\,j}$, si $\sigma(j) > p$ pour un $j \leqslant p$, le facteur $a_{\sigma(j)\,j}$ appartient au bloc nul. Restent les $\sigma$ qui envoient $\{1, \dots, p\}$ dans lui-même, donc sur lui-même, par injectivité (Ensembles finis, (iii)), et $\{p + 1, \dots, n\}$ sur lui-même.

Une telle $\sigma$ équivaut à un couple $(\sigma', \sigma'')$ formé d'une permutation de $\{1, \dots, p\}$ et d'une de $\{p + 1, \dots, n\}$.

Une paire $i < j$ avec $i \leqslant p < j$ n'est jamais inversée, puisque $\sigma(i) \leqslant p < \sigma(j)$ ; le nombre de paires inversées par $\sigma$ est donc la somme de ceux de $\sigma'$ et de $\sigma''$, et $\varepsilon(\sigma) = \varepsilon(\sigma')\varepsilon(\sigma'')$ (Permutations, signature).

La somme se factorise alors en $\det B \cdot \det D$. Le cas triangulaire s'en déduit par récurrence sur la taille, avec $p = 1$.

(iii) Pour $j \leqslant p$, $u(e_j) \in F$ n'a de coordonnées que sur $e_1, \dots, e_p$ : c'est le bloc nul, et $B$ est la matrice de $u_F$. Pour $j > p$, écrivons $u(e_j) = \sum_i a_{ij}e_i$ ; en appliquant $\pi$, qui annule $e_1, \dots, e_p$, $$\bar u(\pi(e_j)) = \sum_{i > p} a_{ij}\,\pi(e_i).$$

Les $\pi(e_i)$, $i > p$, forment une base de $E/F$, puisque $\pi$ restreinte au supplémentaire $\operatorname{Vect}(e_{p+1}, \dots, e_n)$ de $F$ est un isomorphisme (Espace quotient, (iii)) ; la matrice $D$ est donc celle de $\bar u$.

La matrice $X{I_n} - A$ est elle aussi triangulaire par blocs, de blocs diagonaux $XI_p - B$ et $XI_{n-p} - D$. Le point (ii), appliqué dans le corps $K(X)$, donne $\chi_u = \chi_B\chi_D$, et $\chi_B = \chi_{u_F}$, $\chi_D = \chi_{\bar u}$ par Polynôme caractéristique, (iii).

Si $E = F_1 \oplus \cdots \oplus F_k$ avec des $F_i$ stables, chaque $u(e)$, pour $e$ dans la base de $F_i$, n'a de coordonnées que sur cette base : la matrice est diagonale par blocs, et (ii), appliqué $k - 1$ fois dans $K(X)$, donne le produit.

(iv) La matrice $XI_n - T$ est triangulaire, de coefficients diagonaux $X - t_{jj}$, et l'on applique (ii) dans $K(X)$.

(v) Par récurrence, $(u_F)^k$ est la restriction de $u^k$, et $\bar u^k \circ \pi = \pi \circ u^k$ ; on passe aux polynômes par linéarité. Si $P(u) = 0$, alors $P(u_F) = 0$, et $P(\bar u) \circ \pi = 0$, donc $P(\bar u) = 0$ puisque $\pi$ est surjective. On applique ceci à $P = \mu_u$ et l'on conclut par Polynômes d'endomorphismes, (iii).

(vi) Le sous-espace propre $F = E_\lambda$ est non nul et stable, et $u_F = \lambda\,\mathrm{id}_F$. Si $F = E$, $\chi_u = (X - \lambda)^n$ par (iv) ; sinon, par (iii) et (iv), $(X - \lambda)^d$ divise $\chi_u$, avec $d = \dim E_\lambda$. Par définition de la multiplicité (Racines), $d \leqslant m$.