Forme de Jordan

(i) Par Sous-espaces caractéristiques, (i) et (ii), $E = N_1 \oplus \cdots \oplus N_k$, et $u$ agit sur $N_i$ comme $\lambda_i\,\mathrm{id} + n_i$, avec $n_i$ nilpotent.

Le nœud Jordan, cas nilpotent, (i), fournit une base de $N_i$ dans laquelle $n_i$ a une matrice diagonale par blocs de Jordan $J_m$ ; dans cette base, $u$ a pour blocs les $J_m(\lambda_i)$. Les bases des $N_i$, mises bout à bout, forment une base de $E$ (Sous-espaces stables, (i)).

(ii) Dans une telle base, $(u - \lambda\,\mathrm{id})^j$ est diagonale par blocs, de blocs $(J_m(\mu) - \lambda I_m)^j = \big((\mu - \lambda)I_m + J_m\big)^j$. Si $\mu \neq \lambda$, la matrice $(\mu - \lambda)I_m + J_m$ est triangulaire, de coefficients diagonaux $\mu - \lambda \neq 0$, donc de déterminant $(\mu - \lambda)^m \neq 0$ et inversible (Sous-espaces stables, (ii), et Déterminant d'une matrice, (ii)) ; sa puissance $j$-ième est inversible, d'inverse la puissance $j$-ième de son inverse, et son noyau est nul. Si $\mu = \lambda$, c'est $J_m^j$, de noyau de dimension $\min(j, m)$, comme au nœud Jordan, cas nilpotent, (ii).

Par suite, $\dim \operatorname{Ker}(u - \lambda\,\mathrm{id})^j = \sum \min(j, m)$, la somme portant sur les blocs $J_m(\lambda)$, et la différence de deux termes consécutifs compte ceux de taille au moins $j$.

Pour $j$ au moins égal à toutes les tailles, $\sum \min(j, m)$ est la somme des tailles des blocs associés à $\lambda_i$ ; c'est aussi $\dim \operatorname{Ker}(u - \lambda_i\,\mathrm{id})^j = \dim N_i = m_i$ pour $j \geqslant r_i$ (Sous-espaces caractéristiques, (ii) et (iii)). Le nombre de ces blocs est la différence pour $j = 1$, c'est-à-dire $\dim E_{\lambda_i}$.

Enfin, il existe un bloc de taille au moins $j$ si et seulement si la différence d'indice $j$ est non nulle, c'est-à-dire, par Sous-espaces caractéristiques, (iii), si et seulement si $j \leqslant r_i$ : la plus grande taille est $r_i$, exposant de $X - \lambda_i$ dans $\mu_u$.

(iii) Si $B = S^{-1}AS$, alors $(B - \lambda I_n)^j = S^{-1}(A - \lambda I_n)^jS$, et, pour toute matrice $M$, $\operatorname{Ker}(S^{-1}MS) = S^{-1}(\operatorname{Ker} M)$, image de $\operatorname{Ker} M$ par l'isomorphisme $x \mapsto S^{-1}x$, donc de même dimension. Par le théorème du rang (Théorème du rang), $(B - \lambda I_n)^j$ et $(A - \lambda I_n)^j$ ont le même rang.

Réciproquement, le rang de $(A - \lambda I_n)^j$ vaut $n - \dim \operatorname{Ker}(A - \lambda I_n)^j$ (Théorème du rang). Si les rangs coïncident, (ii) donne à $A$ et à $B$ les mêmes blocs de Jordan, avec les mêmes répétitions. En rangeant les vecteurs de base par blocs dans le même ordre, $A$ et $B$ sont semblables à la même matrice diagonale par blocs, donc semblables entre elles.