Théorème 10Réduction des endomorphismes

Décomposition de Dunford

Énoncé

Supposons $\chi_u$ scindé.

(i) Il existe un unique couple $(d, n)$ d'endomorphismes de $E$ tels que $u = d + n, \qquad d \circ n = n \circ d,$ avec $d$ diagonalisable et $n$ nilpotent. C'est la décomposition de Dunford de $u$ .

(ii) Les endomorphismes $d$ et $n$ sont des polynômes en $u$ . Avec les notations du nœud Sous-espaces caractéristiques, $d = \sum_i \lambda_ip_i$ , c'est-à-dire que $d$ agit sur chaque $N_i$ comme $\lambda_i\,\mathrm{id}$ .

(iii) $u$ est diagonalisable si et seulement si $n = 0$ , et nilpotent si et seulement si $d = 0$ .

Démonstration

Existence. Soient $N_i$ les sous-espaces caractéristiques et $p_i$ les projecteurs associés, qui sont des polynômes en $u$ (Sous-espaces caractéristiques, (i)). Posons $d = \sum_i \lambda_ip_i$ et $n = u - d$ , polynômes en $u$ , qui commutent donc (Polynômes d'endomorphismes, (i)).

Sur $N_i$ , $d$ agit comme $\lambda_i\,\mathrm{id}$ : tout vecteur non nul de $N_i$ est propre pour $d$ , et des bases des $N_i$ mises bout à bout forment une base de vecteurs propres de $d$ (Sous-espaces stables, (i)). Donc $d$ est diagonalisable.

Sur $N_i$ , stable, $n$ agit comme le nilpotent $n_i = u - \lambda_i\,\mathrm{id}$ (Sous-espaces caractéristiques, (ii)). Pour $r = \max_i m_i$ , $n^r$ s'annule sur chaque $N_i$ , donc sur $E$ : $n$ est nilpotent.

Unicité. Soit $u = d' + n'$ une autre décomposition. L'endomorphisme $d'$ commute avec $n'$ et avec lui-même, donc avec $u = d' + n'$ ; il commute donc avec $d$ et $n$ , polynômes en $u$ (Polynômes d'endomorphismes, (i)). De même pour $n'$ .

Les endomorphismes $d$ et $d'$ , diagonalisables et commutant, ont une base commune de vecteurs propres (Diagonalisation, (iii)), dans laquelle $d - d'$ a une matrice diagonale : $d - d'$ est diagonalisable.

Les nilpotents $n'$ et $-n$ commutent, donc $n' - n$ est nilpotent (Nilpotents, (iii)). Or $d - d' = n' - n$ : cet endomorphisme, diagonalisable et nilpotent, est nul (Nilpotents, (iv)). Donc $d' = d$ et $n' = n$ .

(iii) Si $u$ est diagonalisable, $(u, 0)$ est une décomposition, et c'est la seule ; si $u$ est nilpotent, $(0, u)$ en est une. Les réciproques sont claires.

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Remarque

Pour $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ , on a vu $N_2 = \operatorname{Ker}(A - 2I_3)^2$ et $N_3 = \operatorname{Ker}(A - 3I_3)$ . Les polynômes du lemme des noyaux sont $Q_3 = (X - 2)^2$ , qui vaut $1$ en $3$ , et $Q_2 = 1 - (X - 2)^2$ , multiple de $X - 3$ . D'où $\begin{aligned} D &= 2(I_3 - Q_3(A)) + 3Q_3(A) \\ &= 2I_3 + (A - 2I_3)^2. \end{aligned}$

Le calcul donne $D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ et $N = A - D = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},$ avec $N^2 = 0$ et $DN = ND$ ; $D$ est diagonalisable, de vecteurs propres $e_1$ , $e_2$ pour $2$ et $(2, 1, 1)$ pour $3$ .

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que, pour une matrice triangulaire, $d$ est la partie diagonale et $n$ le reste. Pour la matrice $A$ ci-dessus, la partie diagonale $\Delta = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$ et le reste $A - \Delta$ ne commutent pas : $\Delta(A - \Delta) - (A - \Delta)\Delta$ a pour troisième colonne $(-1, -1, 0)$ .

L'exemple le plus simple est $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ : ses deux valeurs propres sont distinctes, il est diagonalisable, et sa décomposition est $(u, 0)$ , alors que $\operatorname{diag}(1, 2)$ et $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ne commutent pas.

Remarque

L'hypothèse « $\chi_u$ scindé » ne peut pas être omise. Sur ${\mathbb Z/3\mathbb Z}$ , la rotation $J$ n'a aucune décomposition : si $J = d + n$ , $n$ commute avec $J$ ; si $n \neq 0$ , son noyau est une droite, stable par $J$ (Polynômes d'endomorphismes, (ii)), ce qui fournirait une valeur propre ; si $n = 0$ , $J = d$ serait diagonalisable. Dans les deux cas, on contredit l'absence de valeur propre.

Remarque

La décomposition sert à calculer les exponentielles de matrices des équations différentielles (Systèmes linéaires) et des groupes de Lie. Comme $d$ et $n$ commutent, $e^{tA} = e^{tD}e^{tN}$ ; l'exponentielle de $tD$ se lit sur les sous-espaces propres, et celle de $tN$ est une somme finie, la série s'arrêtant à l'indice de $N$ .

Pour la matrice $A$ ci-dessus, avec $p_2 = I_3 - (A - 2I_3)^2$ et $p_3 = (A - 2I_3)^2$ , on trouve ainsi $e^{tA} = e^{2t}(I_3 + tN)\,p_2 + e^{3t}p_3,$ ce qu'un calcul direct de la série confirme.

Remarque

Le nom de Dunford est celui de l'usage français. La décomposition se trouve en substance dans la forme canonique de Jordan (Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris, 1870) ; Chevalley la met au premier plan, avec $d$ et $n$ polynômes en $u$ , dans sa Théorie des groupes de Lie, tome II (Hermann, 1951), d'où le nom de décomposition de Jordan-Chevalley employé ailleurs ; N. Dunford en donne une version pour les opérateurs dans « Spectral operators » (Pacific J. Math. 4, 1954, p. 321-354). Sur cet historique, voir D. Couty, J. Esterle et R. Zarouf, « Décomposition effective de Jordan-Chevalley et ses retombées en enseignement », arXiv:1103.5020, 2011.

Repose sur

Sous-espaces caractéristiques

Sert à

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