Systèmes linéaires et exponentielle de matrices

(i) Le second membre $F(t, y) = A(t)y + b(t)$ est continu sur $\Omega = I \times \mathbb R^n$. Il est lipschitzien en $y$ sur $[t_1 - a, t_1 + a] \times \mathbb R^n$, de rapport $\max_{[t_1 - a, t_1 + a]} |||A|||$, puisque $\|A(t)y - A(t)z\| \leqslant |||A(t)|||\,\|y - z\|$ ; ce maximum existe, $t \mapsto |||A(t)|||$ étant continue sur ce segment (Compacts de ℝ, (iii)). Les hypothèses du nœud Solutions maximales sont donc satisfaites.

Enfin $\|A(t)y + b(t)\| \leqslant c(t)(1 + \|y\|)$ avec $c = \max(|||A|||, \|b\|)$ continue : on applique Solutions maximales, (iv). L'application $y \mapsto y(t_0)$ est linéaire, injective par l'unicité, surjective par l'existence.

(ii) $|||A^k||| \leqslant |||A|||^k$ (Équivalence des normes), et la série converge absolument dans l'espace complet $\mathcal M_n(\mathbb R)$.

Sur un segment $[-T, T]$, les termes $\frac{s^kA^k}{k!}$ ont leurs coefficients majorés par $\frac{T^k|||A|||^k}{k!}$, chaque coefficient d'une matrice étant majoré par sa norme subordonnée à $\|\cdot\|_\infty$. Par le critère de Weierstrass, coefficient par coefficient, les sommes partielles $S_N(s) = \sum_{k \leqslant N} \frac{s^kA^k}{k!}$ convergent uniformément vers $Y(s) = e^{sA}$, qui est donc continue, et $AS_N$ vers $AY$ (Convergence uniforme, (i) et (ii)). Comme $$\int_0^t AS_N(s)\,ds = S_{N+1}(t) - I,$$ le passage à la limite dans l'intégrale (Convergence uniforme, (iii)) donne $$Y(t) = I + \int_0^t AY(s)\,ds,$$ donc $Y' = AY$ par le théorème fondamental (Théorème fondamental).

La matrice $A$ commute avec chaque $S_N(s)$, donc avec leur limite $e^{sA}$, par continuité de $M \mapsto AM - MA$ : la dérivée $Ae^{tA}$ est aussi égale à $e^{tA}A$. Pour $s$ fixé, $t \mapsto e^{(s+t)A}$ et $t \mapsto e^{sA}e^{tA}$ sont donc solutions de $Z' = AZ$, la seconde de dérivée $e^{sA}Ae^{tA} = Ae^{sA}e^{tA}$, et elles ont même valeur en $0$ : elles coïncident par unicité, appliquée colonne par colonne.

Si $AB = BA$, $B$ commute de même avec les sommes partielles de $e^{tA}$, donc avec $e^{tA}$. La fonction $t \mapsto e^{tA}e^{tB}$ a pour dérivée, coefficient par coefficient (Opérations), $$Ae^{tA}e^{tB} + e^{tA}Be^{tB} = (A + B)e^{tA}e^{tB}.$$ Elle est donc, comme $t \mapsto e^{t(A+B)}$, solution de $Z' = (A + B)Z$, de valeur $I$ en $0$ ; elles coïncident par unicité, et $t = 1$ donne $e^{A+B} = e^Ae^B$.

(iii) Soit $f(t) = \det e^{tA}$. Le déterminant est une fonction polynomiale des $n^2$ coefficients, donc de classe $C^\infty$ (Classe Cᵏ, (iii)), et sa différentielle en $M$ est $H \mapsto \sum_{i,j} \partial_{ij}\det(M)\,h_{ij}$ (Différentielle, (ii)).

Par le développement suivant la colonne $j$ (Comatrice), $\det M = \sum_i m_{ij}C_{ij}$, où les cofacteurs $C_{ij}$ ne dépendent pas de la colonne $j$ : $\partial_{ij}\det(M) = C_{ij}$, et la différentielle est $$H \mapsto \sum_{i,j} C_{ij}h_{ij} = \operatorname{tr}\big({}^t\!\operatorname{com}(M)\,H\big)$$ (Trace, (ii)).

Par la règle de la chaîne (Différentielle, (iv)), avec la dérivée $Ae^{tA}$ de $t \mapsto e^{tA}$ donnée par (ii), $$\begin{aligned} f'(t) &= \operatorname{tr}\big({}^t\!\operatorname{com}(e^{tA})Ae^{tA}\big) \\ &= \operatorname{tr}\big(e^{tA}\,{}^t\!\operatorname{com}(e^{tA})\,A\big) \\ &= f(t)\operatorname{tr}A, \end{aligned}$$ par $\operatorname{tr}(XY) = \operatorname{tr}(YX)$ puis la formule de la comatrice, et $f(0) = 1$ donne $f(t) = e^{t\operatorname{tr}A}$.