Différentiabilité du flot et équation variationnelle

Deux inégalités sur les intégrales. Pour $v : [0, t] \to \mathbb R^n$ continue, on a $\|\int_0^t v\| \leqslant \int_0^t \|v\|$, puisque $|\int_0^t v_i| \leqslant \int_0^t |v_i| \leqslant \int_0^t \|v\|$ pour chaque coordonnée (Propriétés de l'intégrale). Pour une fonction matricielle continue $M$ et $\|w\| \leqslant 1$, $\big(\int_0^t M\big)w = \int_0^t Mw$ donne alors $|||\int_0^t M||| \leqslant \int_0^t |||M|||$.

Les constantes. Fixons $x_0 \in U$ et un segment $[a, b]$ comme au nœud Domaine du flot, (ii), avec les mêmes $T$, $\Gamma$, $\delta$, $K$ et $L$, et posons $\rho = \delta e^{-LT}$. La fonction $$\begin{aligned} \omega(r) = \sup\big\{&|||dX(y) - dX(y')||| : \\ &y, y' \in K,\ \|y - y'\| \leqslant r\big\} \end{aligned}$$ est bien définie, majorée par $2L$, et croissante.

Elle tend vers $0$ quand $r \to 0$ : par le théorème de Heine (Théorème de Heine), appliqué à $dX$, continue sur le compact $K$, il existe pour tout $\varepsilon > 0$ un $\eta > 0$ tel que $\omega(r) \leqslant \varepsilon$ pour $r < \eta$.

Bornes sur $Z$. Pour $\|x - x_0\| < \rho$ et $s \in [a, b]$, $\varphi_s(x) \in K$, donc $|||A_x(s)||| \leqslant L$. De $Z_x(t) = I + \int_0^t A_xZ_x$ (Cauchy-Lipschitz, (ii), forme intégrale) on tire, pour $t \in [0, b]$, $|||Z_x(t)||| \leqslant 1 + L\int_0^t |||Z_x|||$, et Grönwall (Grönwall, (i)) donne $|||Z_x(t)||| \leqslant e^{LT}$.

Étape 1 : le reste de Taylor. Soit $h$ tel que $0 < \|h\| < \rho$, $x = x_0 + h$ et $r = \|h\|e^{LT} < \delta$. Pour $s \in [0, b]$, posons $p = \varphi_s(x_0)$ et $q = \varphi_s(x)$, de sorte que $\|q - p\| \leqslant r$ (Domaine du flot, (ii)).

L'application $g(y) = X(y) - dX(p)y$ est différentiable sur la boule ouverte $V = B(p, \min(2r, \delta))$, convexe et contenue dans $K$, de différentielle $dX(y) - dX(p)$ (Différentielle, (iii)), de norme au plus $\omega(2r)$. Comme $q \in V$, l'inégalité des accroissements finis (Accroissements finis, (ii)), appliquée à $g$ entre $p$ et $q$, donne $$\begin{aligned} &\|X(q) - X(p) - dX(p)(q - p)\| \\ &\quad \leqslant \omega(2r)\,r. \end{aligned}$$

Étape 2 : Grönwall. Posons $u(t) = \varphi_t(x) - \varphi_t(x_0) - Z_{x_0}(t)h$ et notons $R(s)$ le vecteur que l'on vient de majorer. Par les formes intégrales de $\varphi_t(x)$, de $\varphi_t(x_0)$ et de $Z_{x_0}$, et puisque $A_{x_0}(s)u(s) + R(s) = X(q) - X(p) - A_{x_0}(s)Z_{x_0}(s)h$, $$u(t) = \int_0^t \big(A_{x_0}(s)u(s) + R(s)\big)\,ds.$$

Il vient $\|u(t)\| \leqslant T\omega(2r)r + L\int_0^t \|u\|$ pour $t \in [0, b]$, et le lemme de Grönwall donne $$\|u(t)\| \leqslant Te^{2LT}\omega(2\|h\|e^{LT})\,\|h\|.$$

Conclusion pour $t \geqslant 0$. Posons $\varepsilon(h) = u(t)/\|h\|$ pour $h \neq 0$ et $\varepsilon(0) = 0$. Alors $\varphi_t(x_0 + h) = \varphi_t(x_0) + Z_{x_0}(t)h + \|h\|\,\varepsilon(h)$, et $\|\varepsilon(h)\| \leqslant Te^{2LT}\omega(2\|h\|e^{LT})$ tend vers $0$ avec $h$ : $\varphi_t$ est différentiable en $x_0$, de différentielle $Z_{x_0}(t)$, pour tout $t \in [0, b]$, et la majoration du reste ne dépend pas de $t$.

Les temps négatifs. Le champ $-X$ a pour flot $\psi_s = \varphi_{-s}$ (Domaine du flot, (i)), et $W(s) = Z_x(-s)$ vérifie $W'(s) = -A_x(-s)W(s) = d(-X)(\psi_s(x))\,W(s)$ et $W(0) = I$ : par unicité, c'est la solution de l'équation variationnelle de $-X$.

Le segment $[-b, -a]$ donne pour $-X$ les mêmes constantes ; le cas précédent, appliqué à $-X$, donne $d\varphi_t(x_0) = d\psi_{-t}(x_0) = Z_{x_0}(t)$ pour $t \in [a, 0]$.

(i) est ainsi démontré, puisque tout $(t, x_0) \in D$ a son temps $t$ dans un tel segment (Domaine du flot, preuve de (iii)).

(ii) Continuité de $Z$. Pour $\|h\| < \rho$, $x = x_0 + h$ et $t \in [0, b]$, la différence $V(t) = Z_x(t) - Z_{x_0}(t)$ vérifie $$V(t) = \int_0^t \big(A_xV + (A_x - A_{x_0})Z_{x_0}\big)\,ds.$$

Les points $\varphi_s(x)$ et $\varphi_s(x_0)$ sont dans $K$ à distance au plus $r = \|h\|e^{LT}$, d'où $|||A_x(s) - A_{x_0}(s)||| \leqslant \omega(r)$. Avec $|||Z_{x_0}||| \leqslant e^{LT}$, on obtient $|||V(t)||| \leqslant T\omega(r)e^{LT} + L\int_0^t |||V|||$, puis, par Grönwall, $|||V(t)||| \leqslant Te^{2LT}\omega(\|h\|e^{LT})$. Pour $t \in [a, 0]$, la même majoration s'obtient en passant à $-X$, comme plus haut.

Tout $(t_1, x_0) \in D$ admet un tel segment $[a, b]$ avec $t_1 \in \,]a, b[$, comme on l'a vu dans la preuve du nœud Domaine du flot, (iii). Pour $t \in [a, b]$ et $\|x - x_0\| < \rho$, on a donc $$\begin{aligned} &|||Z_x(t) - Z_{x_0}(t_1)||| \\ &\quad \leqslant Te^{2LT}\omega(\|x - x_0\|e^{LT}) \\ &\qquad + |||Z_{x_0}(t) - Z_{x_0}(t_1)|||, \end{aligned}$$ qui tend vers $0$ quand $(t, x) \to (t_1, x_0)$ : $(t, x) \mapsto Z_x(t)$ est continue sur $D$.

Classe $C^1$. Sur l'ouvert $D$ (Domaine du flot, (iii)), la dérivée partielle de $\varphi$ par rapport à $t$ est $X(\varphi_t(x))$, puisque $t \mapsto \varphi_t(x)$ est solution ; elle est continue, comme composée de $X$ et de $\varphi$, continue sur $D$.

La dérivée partielle par rapport à $x_j$ est $Z_x(t)e_j$, par (i) et Différentielle, (ii) ; elle est continue par ce qui précède. Le nœud Classe Cᵏ, (i), conclut.

(iii) Pour $t$ fixé, l'application affine $x \mapsto (t, x)$ envoie l'ouvert $D_t$ dans $D$ ; par composition (Classe Cᵏ, (iii)), $\varphi_t$ est de classe $C^1$ sur $D_t$, et de même $\varphi_{-t}$ sur $D_{-t}$. Avec Domaine du flot, (iv), $\varphi_t$ est un $C^1$-difféomorphisme de $D_t$ sur $D_{-t}$.

Enfin, la règle de la chaîne (Différentielle, (iv)) appliquée à $\varphi_{-t} \circ \varphi_t = \mathrm{id}$ et à $\varphi_t \circ \varphi_{-t} = \mathrm{id}$ montre que $Z_{\varphi_t(x)}(-t)$ et $Z_x(t)$ sont inverses l'une de l'autre.