Solutions maximales et critère d'explosion

(i) L'ensemble des $t$ où elles coïncident est fermé dans l'intervalle commun, par continuité. Il est ouvert dans cet intervalle, par l'unicité locale (Cauchy-Lipschitz, (ii)), appliquée sur un cylindre contenu dans l'ouvert $\Omega$ et centré au point commun, sur lequel $F$ est bornée, par continuité et compacité, et lipschitzienne en $y$ par hypothèse. Par connexité, il est égal à l'intervalle entier.

(ii) Par (i), la réunion des graphes de toutes les solutions passant par $(t_0, y_0)$ est le graphe d'une fonction $y$, définie sur la réunion $J^*$ de leurs intervalles. Aucun choix n'intervient : on prend la réunion de toutes.

La fonction $y$ est une solution. Soit en effet $t \in J^*$. Si $t > t_0$, ou bien $J^*$ contient un $s > t$, et l'intervalle d'une solution définie en $s$ contient $[t_0, s]$, voisinage de $t$ dans $J^*$ ; ou bien $t$ est la borne droite de $J^*$, et l'intervalle d'une solution définie en $t$ contient $[t_0, t]$. Le cas $t < t_0$ est symétrique, et, pour $t = t_0$, la solution fournie par Cauchy-Lipschitz est définie sur un voisinage $[t_0 - h, t_0 + h]$ de $t_0$. Dans tous les cas, $y$ coïncide au voisinage de $t$ dans $J^*$ avec une solution : elle est dérivable en $t$, de dérivée $F(t, y(t))$.

Toute solution passant par $(t_0, y_0)$ est une restriction de $y$, par construction ; $y$ est donc maximale, et c'est la seule solution maximale passant par ce point, puisqu'une autre, restriction de $y$, ne pourrait être maximale qu'en lui étant égale. Enfin, si $J^*$ contenait l'une de ses extrémités, Cauchy-Lipschitz en ce point prolongerait la solution : $J^*$ est un intervalle ouvert.

(iii) Supposons $\beta < \sup I$ et que $\|y\|$ ne tende pas vers l'infini quand $t \to \beta$. Il existe alors $R$ tel que, pour tout $\eta > 0$, on ait $\|y(t)\| \leqslant R$ pour un $t \in \,]\beta - \eta, \beta[$.

Comme $\beta \in I$ et que $I$ est ouvert, il existe $\delta > 0$ tel que $[\beta - 2\delta, \beta + \delta] \subset I$. Le compact $K = [\beta - 2\delta, \beta + \delta] \times \bar B(0, R + 1)$ est contenu dans $\Omega$, et $F$ y est bornée par un réel $M > 0$, quitte à l'agrandir. Posons $h = \min(\delta, 1/M)$, qui ne dépend que de $R$ et de $\delta$.

Soit $t_1 \in \,]\beta - h, \beta[$ tel que $\|y(t_1)\| \leqslant R$. Comme $\beta - \delta < t_1 < \beta$, le cylindre $[t_1 - \delta, t_1 + \delta] \times \bar B(y(t_1), 1)$ est contenu dans $K$ : $F$ y est bornée par $M$ et lipschitzienne en $y$. Cauchy-Lipschitz, avec $a = \delta$ et $r = 1$, fournit une solution $z$ sur $[t_1 - h, t_1 + h]$ telle que $z(t_1) = y(t_1)$.

Par (i), $y$ et $z$ coïncident sur l'intersection de leurs intervalles ; la fonction égale à $y$ sur $]\alpha, \beta[$ et à $z$ sur $[t_1 - h, t_1 + h]$ est une solution, puisqu'au voisinage de chaque point elle coïncide avec l'une ou l'autre. Elle est définie jusqu'en $t_1 + h > \beta$, ce qui contredit la maximalité de $y$.

Du côté de $\alpha$, on applique ce qui précède à $z(t) = y(-t)$, qui vérifie $z'(t) = -F(-t, z(t))$ : le second membre $\tilde F(t, y) = -F(-t, y)$ est continu et localement lipschitzien en $y$ sur $(-I) \times \mathbb R^n$, et le changement de $t$ en $-t$ échange les solutions des deux équations en respectant l'inclusion des intervalles, donc la maximalité. La solution maximale $z$ est définie sur $]{-\beta}, -\alpha[$, avec $-\alpha < \sup(-I)$.

(iv) Sur $[t_0, \beta[$, on a $$\begin{aligned} \|y(t)\| &\leqslant \|y_0\| \\ &\quad + \int_{t_0}^t c(s)(1 + \|y(s)\|)\,ds, \end{aligned}$$ par l'inégalité sur les intégrales vectorielles du nœud Cauchy-Lipschitz. Si $\beta < \sup I$, $c$ est bornée par $C$ sur $[t_0, \beta]$, et Grönwall (Grönwall) appliqué à $1 + \|y\|$ montre que $\|y\|$ reste bornée, ce que (iii) interdit. Du côté de $\alpha$, on passe à $t \mapsto y(-t)$ comme en (iii), le second membre $-F(-t, y)$ vérifiant la même majoration avec la fonction continue $t \mapsto c(-t)$.