Lemme de Grönwall et dépendance par rapport aux conditions initiales

(i) Soit $v(t) = a + b\int_{t_0}^t u$, dérivable de dérivée $bu \leqslant bv$ (Théorème fondamental). La fonction $v(t)e^{-b(t - t_0)}$ a pour dérivée $(v' - bv)e^{-b(t - t_0)} \leqslant 0$ ; elle décroît, et $$u \leqslant v \leqslant v(t_0)e^{b(t - t_0)} = ae^{b(t - t_0)}.$$

(ii) Soit $t \geqslant t_0$. On a $$\begin{aligned} &y(t) - z(t) = y(t_0) - z(t_0) \\ &\quad + \int_{t_0}^t \big(F(s, y) - F(s, z)\big)\,ds, \end{aligned}$$ d'où $$u(t) = \|y(t) - z(t)\| \leqslant u(t_0) + L\int_{t_0}^t u,$$ par l'inégalité $\|\int_{t_0}^t v\| \leqslant \int_{t_0}^t \|v\|$ du nœud Cauchy-Lipschitz, et l'on applique (i). Le cas $t \leqslant t_0$ se ramène au précédent en changeant $t$ en $-t$.