Théorème de Cauchy-Lipschitz local

(i) Le point fixe $x^*$ de $\Phi^k$, qui existe et est unique par le théorème du point fixe de Banach dans un espace métrique complet (Point fixe, (i)), vérifie $$\Phi^k(\Phi(x^*)) = \Phi(\Phi^k(x^*)) = \Phi(x^*) :$$ $\Phi(x^*)$ est aussi un point fixe de $\Phi^k$, donc égal à $x^*$. Tout point fixe de $\Phi$ en est un de $\Phi^k$.

(ii) Forme intégrale. Une fonction continue $y$ est solution avec $y(t_0) = y_0$ si et seulement si $$y(t) = y_0 + \int_{t_0}^t F(s, y(s))\,ds,$$ par le théorème fondamental (Théorème fondamental) appliqué à chaque coordonnée.

L'espace. Soit $J = [t_0 - h, t_0 + h]$ et $E$ l'ensemble des fonctions continues $J \to \bar B(y_0, r)$, muni de la distance uniforme. C'est une partie fermée de l'espace des fonctions continues $J \to \mathbb R^n$, qui est un espace de Banach, coordonnée par coordonnée (Exemples d'espaces de Banach) : $E$ est complet.

L'opérateur de Picard. L'opérateur $$\Phi(y)(t) = y_0 + \int_{t_0}^t F(s, y(s))\,ds$$ envoie $E$ dans $E$, puisque $\|\Phi(y)(t) - y_0\| \leqslant M|t - t_0| \leqslant Mh \leqslant r$, par l'inégalité sur les intégrales vectorielles rappelée plus haut.

Par récurrence sur $k$, en intégrant l'inégalité de rang $k - 1$ et par la même inégalité, on obtient $$\begin{aligned} &\|\Phi^k(y)(t) - \Phi^k(z)(t)\| \\ &\quad \leqslant \frac{(L|t - t_0|)^k}{k!}\,d(y, z). \end{aligned}$$ Comme $(Lh)^k/k! \to 0$, un itéré est contractant, et (i) conclut.

Unicité parmi toutes les solutions. Une solution $z$ sur un intervalle $J' \subset J$ contenant $t_0$ reste dans $\bar B(y_0, r)$ : sinon, au premier instant $\tau$ où $\|z(\tau) - y_0\| = r$, on aurait $r \leqslant M|\tau - t_0| < Mh \leqslant r$ si $|\tau - t_0| < h$. Elle est donc point fixe de l'opérateur de Picard sur $J'$, et l'estimation précédente, sur $J'$, donne $z = y$.