Théorème d'existence de Peano

Soit $J = [t_0 - h, t_0 + h]$. Le cylindre $C$ est fermé et borné dans $\mathbb R^{n+1}$, donc compact (L'espace ℝⁿ, (iii)) ; $F$ y est bornée et uniformément continue (Théorème de Heine), pour la distance $d_\infty$ de $\mathbb R^{n+1}$.

Les polygones d'Euler. Pour un entier $N \geqslant 1$, posons $t_k = t_0 + \frac{kh}N$ pour $-N \leqslant k \leqslant N$. On définit $y_N$ sur $J$, de proche en proche à partir de $t_0$, par $y_N(t_0) = y_0$ et, sur chaque segment $[t_k, t_{k+1}]$ avec $k \geqslant 0$, et sur chaque segment $[t_{k-1}, t_k]$ avec $k \leqslant 0$, $$y_N(t) = y_N(t_k) + (t - t_k)\,F\big(t_k, y_N(t_k)\big).$$ C'est possible, et $\|y_N(t) - y_0\| \leqslant M|t - t_0| \leqslant r$ sur $J$ : par récurrence sur $|k|$, si $\|y_N(t_k) - y_0\| \leqslant M|t_k - t_0|$, le point $(t_k, y_N(t_k))$ est dans $C$, la pente $F(t_k, y_N(t_k))$ est de norme au plus $M$, et l'inégalité s'étend au segment suivant, puisque $|t - t_0| = |t_k - t_0| + |t - t_k|$ sur ce segment.

Notons, pour $s \in J$, $\tau_N(s)$ celle des extrémités du segment $[t_k, t_{k+1}]$ ou $[t_{k-1}, t_k]$ contenant $s$ qui est la plus proche de $t_0$, en convenant de prendre le segment le plus proche de $t_0$ aux points $t_k$. La fonction $g_N(s) = F\big(\tau_N(s), y_N(\tau_N(s))\big)$ est en escalier, coordonnée par coordonnée, et la relation de Chasles donne, pour $t \in J$, $$y_N(t) = y_0 + \int_{t_0}^t g_N(s)\,ds.$$ Comme $\|g_N\| \leqslant M$, on en tire $\|y_N(t) - y_N(t')\| \leqslant M|t - t'|$, par l'inégalité $\|\int_u^w v\| \leqslant |\int_u^w \|v\||$, établie au nœud Cauchy-Lipschitz pour $v$ continue et qui vaut de même, coordonnée par coordonnée, pour $v$ en escalier (Propriétés de l'intégrale, (v) et (ii)).

Une suite extraite convergente. Dans l'espace $C(J, \mathbb R^n)$, la suite $(y_N)_{N \geqslant 1}$ est bornée, par $\|y_0\| + r$, et équicontinue, ses termes étant tous $M$-lipschitziens (Équicontinuité, (ii)). Par la forme séquentielle du théorème d'Ascoli (Théorème d'Ascoli, (ii)), une suite extraite $(y_{N_j})$ converge uniformément vers une fonction continue $y : J \to \mathbb R^n$. Comme les $y_N(t)$ appartiennent à la boule fermée $\bar B(y_0, r)$, leur limite $y(t)$ aussi.

Passage à la limite. Soit $\varepsilon > 0$ et $\delta > 0$ tel que deux points de $C$ à distance $d_\infty$ inférieure à $\delta$ aient des images par $F$ distantes de moins de $\varepsilon$. Pour $s \in J$, on a $|\tau_N(s) - s| \leqslant \frac hN$, et $$\begin{aligned} &\|y_N(\tau_N(s)) - y(s)\| \\ &\quad \leqslant \|y_N(\tau_N(s)) - y_N(s)\| \\ &\qquad + \|y_N(s) - y(s)\| \\ &\quad \leqslant \frac{Mh}N + \|y_N - y\|_\infty. \end{aligned}$$ Comme $N_j \geqslant j$ et $\|y_{N_j} - y\|_\infty \to 0$, les deux nombres $\frac h{N_j}$ et $\frac{Mh}{N_j} + \|y_{N_j} - y\|_\infty$ sont inférieurs à $\delta$ pour $j$ assez grand. Les points $\big(\tau_{N_j}(s), y_{N_j}(\tau_{N_j}(s))\big)$ et $(s, y(s))$ de $C$ sont alors à distance $d_\infty$ inférieure à $\delta$, et $\|g_{N_j}(s) - F(s, y(s))\| < \varepsilon$ pour tout $s \in J$.

La fonction $s \mapsto F(s, y(s))$ est uniformément continue sur $J$. En effet, $y$ est $M$-lipschitzienne, par passage à la limite dans $\|y_N(t) - y_N(t')\| \leqslant M|t - t'|$ ; si $|s - s'| < \frac\delta{\max(1, M)}$, les points $(s, y(s))$ et $(s', y(s'))$ de $C$ sont donc à distance $d_\infty$ inférieure à $\delta$, et leurs images par $F$ distantes de moins de $\varepsilon$, qui est quelconque. Elle est donc intégrable (Fonctions continues, (i)), et, pour $t \in J$, $$\Big\|y_{N_j}(t) - y_0 - \int_{t_0}^t F(s, y(s))\,ds\Big\| \leqslant \varepsilon h,$$ par la même inégalité, appliquée à la fonction $g_{N_j} - F(\cdot, y(\cdot))$, intégrable coordonnée par coordonnée. En faisant tendre $j$ vers l'infini puis $\varepsilon$ vers $0$, on obtient $$y(t) = y_0 + \int_{t_0}^t F(s, y(s))\,ds,$$ et $y$ est une solution telle que $y(t_0) = y_0$, par le théorème fondamental appliqué à chaque coordonnée (Théorème fondamental), comme dans la forme intégrale du nœud Cauchy-Lipschitz.