Théorème 2Espaces de fonctions continues

Théorème d'Ascoli ⋆

⋆ Axiome du choix

L'implication « précompacte $\Rightarrow$ relativement compacte » de (i) passe par le point (iii) du nœud Parties précompactes, qui choisit un réseau de $A$ pour chaque rayon $2^{-k}$ : c'est le choix dénombrable. La réciproque de (iii), qui passe par (i), en hérite, ainsi que la compacité de l'ensemble $L$ de la deuxième remarque. Les autres implications de (i), le sens direct de (iii) et tout (ii) n'en font aucun.

La démonstration usuelle de (ii), par extraction diagonale sur une suite dense de $K$ , demande de disposer d'une telle suite, et un compact métrique n'en fournit pas de façon canonique : en choisir une est encore un usage du choix dénombrable (Séparabilité). On l'évite ici, parce que la suite $(f_n)$ fournit elle-même ses réseaux, désignés par le plus petit indice.

Une partie d'un espace topologique séparé est relativement compacte si son adhérence est compacte.

Énoncé

Soit $K$ un espace métrique compact et $A$ une partie de l'espace de Banach $C(K, {\mathbb R^p})$ .

(i) Ascoli. Les propriétés suivantes sont équivalentes : $A$ est relativement compacte ; $A$ est précompacte ; $A$ est bornée et équicontinue.

(ii) Forme séquentielle. Toute suite bornée et équicontinue de $C(K, \mathbb R^p)$ a une suite extraite qui converge uniformément.

(iii) Une partie de $C(K, \mathbb R^p)$ est compacte si et seulement si elle est fermée, bornée et équicontinue.

Démonstration

(i) Si $\bar A$ est compacte, elle est précompacte, et $A$ aussi, comme partie de $\bar A$ (Parties précompactes, (i)). L'équivalence entre précompacte et bornée équicontinue est le lemme du nœud Précompacité dans C(K). Enfin, si $A$ est précompacte, son adhérence est compacte, puisque $C(K, \mathbb R^p)$ est complet (Convergence uniforme, (iv), et Parties précompactes, (iii)).

(ii) Soit $(f_n)$ une suite bornée et équicontinue, et $A = \{f_n : n \in {\mathbb N}\}$ , qui est précompacte par le nœud Précompacité dans C(K), (ii).

Les réseaux sont pris parmi les termes. Soit $r > 0$ , et $a_1, \dots, a_q$ des centres de boules de rayon $\frac r2$ qui recouvrent $A$ . Pour chaque $i$ tel que $B(a_i, \frac r2)$ contienne un terme de la suite, soit $n_i$ le plus petit indice tel que $f_{n_i} \in B(a_i, \frac r2)$ ; tout terme $f_n$ est dans l'une de ces boules, et à distance $< r$ du $f_{n_i}$ correspondant.

Il existe donc un entier $m$ tel que $f_0, \dots, f_m$ soit un r-réseau de $A$ , et l'on note $m_k$ le plus petit entier qui convient pour $r = 2^{-k-1}$ . La suite des familles finies $(f_0, \dots, f_{m_k})$ est ainsi définie sans aucun choix ; par le point (i) du nœud Parties précompactes, chacune est un $2^{-k}$ -réseau de l'adhérence $\bar A$ .

Conclusion. L'adhérence $\bar A$ est fermée dans l'espace complet $C(K, \mathbb R^p)$ , et le point (ii) du nœud Parties précompactes montre qu'elle est compacte. La suite $(f_n)$ , à valeurs dans le compact métrique $\bar A$ , a une suite extraite qui converge dans $\bar A$ (Compacité séquentielle, sens direct, sans choix), c'est-à-dire uniformément (Convergence uniforme, (ii)).

(iii) Une partie compacte de l'espace séparé $C(K, \mathbb R^p)$ est fermée (Parties compactes, (ii)), donc égale à son adhérence, et elle est bornée et équicontinue par (i). Réciproquement, une partie fermée, bornée et équicontinue est égale à son adhérence, qui est compacte par (i).

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Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire qu'en dimension infinie, comme dans $\mathbb R^n$ , les fermés bornés sont compacts. Dans $C([0, 1])$ , la suite $x \mapsto x^n$ est bornée, mais elle n'est pas équicontinue en $1$ (Équicontinuité, (iv)), et elle n'a aucune suite extraite qui converge uniformément : la limite serait continue, et égale à la limite simple, qui ne l'est pas. La boule unité fermée de $C([0, 1])$ n'est donc pas compacte.

Remarque

Une condition sur les pentes donne l'équicontinuité. L'ensemble $L$ des fonctions $f : [0, 1] \to \mathbb R$ qui sont $1$ -lipschitziennes et vérifient $|f(0)| \leqslant 1$ est borné, puisque $|f(x)| \leqslant 1 + x \leqslant 2$ , et équicontinu (Équicontinuité, (ii)). Il est fermé, car les inégalités $|f(x) - f(y)| \leqslant |x - y|$ et $|f(0)| \leqslant 1$ passent à la limite uniforme : par (iii), il est compact.

L'opérateur $V f(x) = \int_0^x f$ envoie la boule unité de $C([0, 1])$ dans $L$ , puisque $|Vf(x) - Vf(y)| \leqslant |x - y|$ et $Vf(0) = 0$ : l'adhérence de l'image de la boule est une partie fermée de $L$ , donc compacte, et $V$ est un opérateur compact de $C([0, 1])$ au sens du nœud Opérateurs compacts.

Remarque

La suite des fonctions $x \mapsto \sin(nx)$ sur $[0, 2\pi]$ , où $\sin$ est le sinus de l'analyse réelle (Cosinus et sinus sur ℝ), est bornée, et aucune de ses suites extraites ne converge uniformément ; par (ii), elle n'est donc pas équicontinue. En effet, pour des entiers $m \neq n$ au moins égaux à $1$ , l'orthogonalité du nœud Coefficients de Fourier donne $\int_0^{2\pi} (\sin mx - \sin nx)^2\,dx = 2\pi$ , si bien que $\|\sin m\cdot - \sin n\cdot\|_\infty \geqslant 1$ , et aucune suite extraite n'est de Cauchy.

Remarque

G. Ascoli et C. Arzelà ont introduit l'équicontinuité. Ascoli a établi la condition suffisante de compacité pour les fonctions d'une variable réelle (« Le curve limite di una varietà data di curve », Memorie della R. Accademia dei Lincei (3) 18, 1883-1884, p. 521-586). C. Arzelà a établi la condition nécessaire et donné un énoncé net en 1895 (« Sulle funzioni di linee », Memorie della R. Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna (5) 5), et M. Fréchet l'a étendu en 1906 aux fonctions sur un espace métrique compact.

Repose sur

Parties précompactes de C(K, ℝᵖ)

Sert à

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